ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
24
в) сходимость по метрике пространства
n
R
∞
эквивалентна покоординат-
ной сходимости.
Докажите, что нормы пространств
nnn
RRR
∞
,,
12
эквивалентны.
1.14. Докажите, что
а) если а – граничная точка для множества Е, то из Е можно извлечь
подпоследовательность точек, сходящуюся к а,
б) если Е всюдуплотновG, то для любой точки а∈G найдется после-
довательность {x
n
} точек из Е, сходящаяся к а,
в) предел а сходящейся последовательности точек {x
n
} из множества Е
является для Е граничной или внутренней точкой.
(В случае затруднений см., например, [11], ст. 50-51)
1.15. Заполните таблицу (
2
2
);( Ryxz ∈= )
Подмножества
2
2
R
Замкнуто Открыто Совершенно Ограничено
1;
2
2
<∈ zRz
-+-+
…
для следующих подмножеств множества
2
2
R
а) 1;
2
2
≤∈ zRz , б) конечного множества точек, в) {(x;0)}, где х∈ ,
г)
)0;
1
(
n
, где n∈ , д)R
2
, е) ∅, ж) {(x;0)}, где x∈(a;b),
з)(a;b) как подмножество R.
П.2. Предел и непрерывность функций нескольких переменных.
2.1. Сформулировать определение предела функции нескольких перемен-
ных
bxxf
n
aaxx
nn
=
→
),...,(lim
1
),...,(),...,(
11
по Коши
а) на “ε-δ”- языке, в терминах сходимости по метрике в пространстве
n
R
2
,
б) на “ε-δ”- языке, в терминах поточечной сходимости (x
1
,…,x
n
)→(a
1
,…,a
n
),
в) в терминах окрестностей,
г) по Гейне.
2.2. Найти следующие пределы функций
а)
xy
yx
oy
x
1
sin)(lim
0
+
→
→
; б)
x
xy
y
x
sin
lim
2
0
→
→
; в)
x
Ry
x
x
y
)1(lim +
→
∞→
.
Ответ: а)0;б)2;в) е
k
.
2.3. Вычислить предел
22
2
0
0
lim
yx
yx
x
y
+
→
→
.
Решение. Полагаем x=r cosϕ,y=rsinϕ. Тогда
ϕϕ
sincos
2
22
2
r
yx
yx
=
+
. Так
как функция cos
2
ϕ sinϕ ограничена, то 0sincoslimlim
2
0
22
2
0
0
==
+
→
→
→
ϕϕ
r
yx
yx
r
x
y
.
2.4. Найти следующие пределы функций, переходя к полярным координа-
там:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- …
- следующая ›
- последняя »
