Качественные задачи и контрпримеры на тему "Пределы". Сибирева А.Р - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

22
4) Если последовательности {x
n
} и {y
n
} из метрического пространства схо-
дятся, то
)lim,lim(),(lim
n
n
n
n
nn
n
yxyx
∞→∞→∞→
=
ρ
ρ
.
5) Ели в линейном нормированном пространстве последовательности {x
n
} и
{y
n
} сходятся, то и последовательность {x
n
+y
n
} сходится, причем
n
n
n
n
nn
n
yxyx
∞→∞→∞→
+=+ limlim)(lim .
6) Если числовая последовательность {λ
n
} сходится к числу λ, апоследова-
тельность {x
n
} из линейного нормированного пространства L сходится к
а∈L, то последовательность {λ
n
x
n
} сходится в L кэлементуλa.
1.1. Докажите свойства 1-6.
1.2. Почему не имеет смысла говорить о справедливости свойства 5 впро-
извольном метрическом пространстве?
1.3. Докажите, что из сходимости по норме следует сходимость по метрике,
порожденной этой нормой.
Всякое ли метрическое пространство является нормированным? Всегда
ли из сходимости по метрике следует сходимость по норме?
1.4. Проверьте, сходится ли последовательность функций
22
1
)(
xn
nx
xf
n
+
=
к функции f(x) ≡0 в пространстве: а) C[0,1]; б) C
1
[0,1].
Решение. а) В пространстве C[0,1]
)(max),(
10
xfff
n
x
n
≤≤
=
ρ
.
С помощью производной находим, что
2
1
)
1
()(max),(
10
===
≤≤
n
fxfff
nn
x
n
ρ
.
Так как ρ(f
n
,f) не стремится к нулю при n→∞, то ответ на вопрос задачи
отрицательный.
б) В пространстве C
1
[0,1] имеем:
∫∫∫
+
=
+
+
=
+
=−=
1
0
1
0
2
22
22
22
1
0
2
)1ln(
1
)1(
2
1
1
)()(),(
n
n
xn
xnd
n
xn
nxdx
dxfxfff
nn
ρ
.
По правилу Лопиталя
0
1
1
lim
2
)1ln(
lim
2
)1ln(
lim),(lim
2
22
=
+
=
+
=
+
=
∞→∞→∞→∞→
t
t
t
n
n
ff
ttn
n
n
ρ
, аэто
означает, что f
n
→f по метрике пространства C
1
[0,1].
1.5. Проверьте, сходится ли данная последовательность функций к функ-
ции f(x)≡0 по метрикам указанных пространств
а)
22
1
)(
xn
x
xf
n
+
=
, C[0;1], C
1
[0;1]; б)
nx
n
xexf
−
=)( , C[0;1], C
1
[0;1];
в)
n
nx
xf
n
sin
)( =
, C[-π;π], C
1
[-π;π].
1.6. Покажите, что
а) последовательность функций f
n
(x)=x
n
сходится к f(x)≡0 по метрике
пространства C
1
[0;1].
б) Сходится ли f
n
(a) к f(а) в каждой точке отрезка [0;1]? (Сделайте ри-
сунок при n=1,2,3,...)
в) Сходится ли f
n
(х) к f(х)≡0 по метрике пространства C[0;1]?
Ответ: б) нет, f
n
(а)→0 при а∈[0;1), f
n
(1)→1; в) нет.

Страницы