Качественные задачи и контрпримеры на тему "Пределы". Сибирева А.Р - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

20
П.3. Равномерная непрерывность.
3.1. Сформулируйте определение функции равномерно непрерывной на
промежутке G.
а) В чем сходство определений непрерывности функции на промежутке
G и равномерной непрерывности на промежутке G? Перефразируйте опреде-
ление непрерывности в точке, используя критерий Коши существования пре-
дела.
б) В чем отличие этих определений? Можно ли говорить о функции
равномерно непрерывной в точке? В определении непрерывной функции -
δ(ε;х). Зависит ли δ от x в определении равномерно непрерывной функции?
в) Сравнивая соответствующие определения, покажите, что из равно-
мерной непрерывности следует непрерывность функции в области G.
3.2. Доказать, что функция y=sin x равномерно непрерывна на
.
Доказательство. Пусть x’,x’’ – произвольные числа; оценим модуль
разности
'''
2
'''
cos
2
'''
sin2''sin'sin xx
xxxx
xx −≤
+
⋅
−
=− ,
так как
2
'''
2
'''
sin
xx
xx
−
≤
−
, 1
2
'''
cos ≤
+
xx
.
Пусть ε - произвольное положительное число. Возьмем δ=ε, тогда для
любых x’∈
,x’’∈ из неравенства |x’-x’’|<δ следует неравенство
|sin x’-sin x’’|<δ=ε.
Таким образом, функция y=sin x равномерно непрерывна на
.
3.3. Доказать, что функция f равномерно непрерывна на множестве Х, если
а) f(x)=2x-1, Х=
, б) f(x)=x
2
, Х=(-1;1).
3.4. Запишите отрицание определения равномерной непрерывности функ-
ции на промежутке G.
3.5. Исследовать на равномерную непрерывность функцию f(x)=ln x на
промежутке (0;1).
Решение. Эта функция не является равномерной непрерывной на про-
межутке (0;1). Зададим
2ln
2
1
=
ε
. Возьмем
n
x
1
1
= и
n
x
2
1
2
= , где n–натураль-
ное число. Тогда
0
2
1
2
11
21
→=−=−
nnn
xx
и 2ln
2
1
ln
1
ln)()(
21
=−=−
nn
xfxf
.
Какое бы δ>0 мы ни выбирали,n можно выбрать настолько большим, что
будет
δ
<=−
n
xx
2
1
21
, а 2ln
2
1
2ln)()(
21
=>=−
ε
xfxf . Из этого и следует, что
функция f(x)=ln x не является равномерно непрерывной на промежутке (0;1).
3.6. Доказать, что следующие функции непрерывны на множестве Х, но не
являются равномерно непрерывными на Х
а)y=sinx
2
,X= , б)y=x
2
,X= .
3.7. Докажите следующие достаточные условия равномерной непрерывно-
сти:

Страницы