Качественные задачи и контрпримеры на тему "Пределы". Сибирева А.Р - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

18
а) y=[x] ([x] – целая часть числа х), б) y={x} ({x} – дробная часть числа х),
в)
x
x
y
= (y=sgn x), г) y=sgn(sin x), д)
x
xy
1
+=
, е)
2
1
x
y =
, ж)
1
1
2
−
=
x
y
,
з)
x
ey
1
= , и)
<<∞−
∞<≤−
=
,1
.112
2
xприx
x
приx
y
к)
<
<≤
≤≤
≤<
=
,0
1
,101
,21
.323
xпри
x
хпри
хприx
xпри
y
1.9. Определить функцию y(x) вточкех=0, чтобы она стала в этой точке
непрерывной
а)
x
x
y
sin
=
, б)
x
xx
y
2
35
2
−
=
, в)
x
x
y
11 −+
=
, г)
x
x
y
cos
1
sin
2
−
=
.
1.10. Возможно ли доопределить функции
а)
x
xx
π
ϕ
sin)( = , б)
x
arctgx
1
)( =
ψ
, в)
x
tgx
−
=
2
)(
π
χ
вточкех=0 так, чтобы они стали непрерывными в этой точке.
1.11. Доказать, что функция
а)
∈
∈
=
Qхесли
Jхесли
xf
,1
,0
)(
разрывна в каждой точке,
б)
∈
∈
=
Qхеслиx
J
хесли
xg
,
,0
)(
непрерывна в точке х=0 и разрывна в остальных точках.
1.12. Рассмотрим функцию Римана
∈
∈∈=
=
Jхесли
NqZp
q
p
хпри
q
xf
,0
,,,
1
)(
,
где
q
p
- несократимая дробь. Доказать, что
а) f(х) непрерывна в каждой иррациональной точке,
б) каждая рациональная точка является для данной функции точкой
разрыва 1 рода.
П.2.Свойства непрерывных функций.
2.1. Доказать, что если функция непрерывна в точке, тоонаограниченав
некоторой окрестности этой точки.
2.2. а) Функция f непрерывна в точке х
0
,g–разрывна в х
0
.
Доказать, что функция f+g разрывна в точке х
0
.
Привести пример разрывных в точке х
0
функции f и g сумма которых
б) разрывна в точке х
0
, в) непрерывна в точке х
0
.
2.3. Привести пример непрерывной в точке х
0
функции f и разрывной в
точке х
0
функции g, произведение которых
а) разрывно в точке х
0
, б) непрерывно в точке х
0
.
(То же задание, но f и g разрывны в точке х
0
.)

Страницы