Качественные задачи и контрпримеры на тему "Пределы". Сибирева А.Р - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

16
5)Пусть существует axf
xx
=
→
)(lim
0
(f(x)≠a при x≠x
0
) и )(lim yg
ay→
; тогда в точке х
0
существует предел композиции g
°
f=g(f(x)), причем )(lim))((lim
0
ygxfg
ayxx →→
= .
3.1. Следует ли из существования предела произведения
))()((lim
0
xgxf
xx
⋅
→
(предела суммы ))()((lim
0
xgxf
xx
+
→
) существование )(lim),(lim
00
xgxf
xxxx →→
?
3.2. Пусть функции f(x) и g(x) не имеют предела в точке х
0
. Следует ли от-
сюда, что f(x)+g(x) и f(x)⋅g(x) такженеимеютпределавэтойточке?
3.3. Пусть функция f(x) имеет предел в т очке х
0
, а функция g(x) не имеет
предела. Будут ли существовать пределы
)]()([lim
0
xgxf
xx
+
→
, ))()((lim
0
xgxf
xx
⋅
→
?
3.4. а) Пусть
0)(lim
0
≠
→
xf
xx
, а )(lim
0
xg
xx→
не существует. Доказать, что
))()((lim
0
xgxf
xx
⋅
→
не существует.(Допустить противное и использовать
теорему о пределе частного.)
б) Пусть
0)(lim
0
≠
→
xf
xx
, а функция g(x) бесконечно большая при x→x
0
.
Доказать, что произведение f(x)⋅g(x) является бесконечно большой
функцией при x→x
0
.
3.5. Софизм. Рассмотрим функцию
x
x
xf
1
)(
−
=
. С одной стороны
1)
1
1(lim
1
lim =−=
−
∞→∞→
x
x
x
xx
,с другой стороны 00)1(lim
1
lim)1(lim
1
lim =⋅−=⋅−=
−
∞→∞→∞→∞→
x
x
x
x
x
xxxx
.
Итак,1=0.Почему?
3.6. Пусть
01
1
1
01
1
1
...
...
)(
bxbxbxb
axaxaxa
xR
m
m
m
m
n
n
n
n
++++
++++
=
−
−
−
−
, a
n
≠0, b
m
≠0.
Доказать, что
)(lim xR
x ∞→
равен ∞, если n>m;
m
n
b
a
, если n=m; 0, если n<m.
3.7. Пусть
)(
)(
)(
xQ
xP
xR
= , где P(x) и Q(x) – многочлены от х и P(а)=Q(а)=0.
Какие возможные значения имеет выражение
)(
)(
lim
xQ
xP
ax→
.
3.8. Пусть
n
n
xaxaxaxP +++= ...)(
2
21
. Доказать, что
2
1)(1
lim
1
0
a
x
xP
x
=
−+
→
.
3.9. Приведите примеры (отдельно – для каждого вида неопределенности
∞
∞
,
0
0
,0⋅∞, ∞-∞,1
∞
, ∞
0
,0
0
), когда в результате нахождения предела по-
лучено
а) некоторое число, отличное от 0 и ∞, б)0, в) ∞.
3.10. Доказать, что если функция f(x) удовлетворяет неравенству f(x)≥C,
x∈(α;β), x≠x
0
∈(α;β), C=const, и существует )(lim
0
xf
xx→
, то справедливо
неравенство
Cxf
xx
≥
→
)(lim
0
.

Страницы