ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
15
2.3. Найти односторонние пределы функций
а)
1
1,32
1,53
)( →
≤+−
>−
=
хпри
хесли
x
x
еслих
xf ,
б)
1
1
1
)(
2
→
−
−
= хпри
x
x
xf , в) 5)5sgn()( →−= хприxxf ,
г)
1
7
1
1
)(
1
1
→
+
=
−
хприxf
x
, д) 0
2cos1
)( →
−
= хпри
x
x
xf
,
е) f(x)={x} при х→1 ({x}-дробная часть числа х), ж) f(x)=5/(x-2) при х→2.
2.4. Доказать, что
а)2
х
→1-0 при х→0-, 2
х
→1+0 при х→0+; б)
2
1
lim,
2
1
lim
00
π
π
−==
−→+→
x
arctg
x
arctg
xx
.
2.5. Приведите пример, задав графически функцию, для которой
а)
;2)2(,2)(lim,2)(lim =−==
+→−→
fxfxf
axax
б)
.)(lim,)(lim,)(lim,)(lim −∞=+∞=−∞=+∞=
+∞→−∞→+→−→
xfxfxfxf
xxaxax
2.6. Найдите все частичные пределы функции
а)y=sinxпри х→+∞, б)y=tgxпри х→+∞,
в)
x
ey
1
= при х→0 )limlim;limlim(
1
0
1
0
t
t
x
x
t
t
x
x
eeee
+∞→+→−∞→−→
== .
Наименьший и наибольший частичные пределы функции f(x) при х→а
называют нижним и верхним пределом функции и обозначают
)(lim
_____
xf
ax→
, )(lim
____
xf
ax→
.
Теорема. Для существования предела (конечного или бесконечного)
функции f(x) вточкеa необходимо и достаточно, чтобы
)(lim)(lim
_____
____
xfxf
ax
ax
→
→
= .
2.7. Найти верхний и нижний пределы функций из задачи 2.6. Существуют
ли
?lim,lim,sinlim
1
0
x
xxx
etgxx
→+∞→+∞→
2.8. Будет ли функция Дирихле
=
орациональнхесли
ьноиррационалхесли
xD
,1
,0
)(
иметь предел хотя бы в одной точке вещественной прямой?
П.3. Свойства пределов функций.
Если функции f(x) и g(x) имеют пределы в точке х
0
, то функции
f(x)±g(x), f(x)g(x) и
)(
)(
xg
xf
)0)(lim(
0
≠
→
xg
xx
также имеют пределы в точке х
0
, причем
1)
)(lim)(lim))()((lim
000
xgxfxgxf
xxxxxx →→→
±=± ,2) ))(lim))((lim())()((lim
000
xgxfxgxf
xxxxxx →→→
= ,
3)
)(lim))((lim
00
xfCxCf
xxxx →→
= , C=const, 4)
)(lim
)(lim
)(
)(
lim
0
0
0
xg
xf
xg
xf
xx
xx
xx
→
→
→
= .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- …
- следующая ›
- последняя »
