Качественные задачи и контрпримеры на тему "Пределы". Сибирева А.Р - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

14
П.2. Предел функции по базе. Односторонние пределы, частичные пределы.
Определение. Совокупность ß подмножеств В⊂Х множества Х будем
называть базой в множестве Х, если выполнены два условия
1) (∀В∈ß) (В≠∅)
2) (∀В
1
∈ß, ∀В
2
∈ß) (∃В∈ß) (В⊂В
1
∩В
2
)
Определение. Пусть f:X→
,ß–база в Х. Число А∈ называют пре-
делом функции f по базе ß, если для любой окрестности V(A) точки А най-
дется элемент В∈ß, образ которого f(B) содержится в окрестности V(A).
Это можно записать так:
))(lim( Axf =
β
⇔(∀ V(A))(∃B∈ ß)(f(B)⊂V(A)).
Или так:
))(lim( Axf =
β
⇔(∀ε>0) (∃B∈ ß) (∀x∈ В)|f(x)-A|<ε.
2.1. Часто используемые базы.
Обозначение базы Из каких множеств В
состоит база ß
ß={B}
B=?
x→a
B–проколотые
δ-окрестности точки а
== )(aUB
o
δ
{x∈ :|x-a|<δ,
x≠a}
x→∞
Множества В есть ок-
рестности точки ∞
В=U
м
(∞)={x∈ :|x|>M,
M∈
+
}
x→a,x∈E
Множества B есть пере-
сечения проколотых
δ-окрестностей точки а
с множеством Е
ЕaUB I
o
)(
δ
=
Продолжите заполнение таблицы. Какова база в случаях
а)
)(lim xf
ax −→
(Е-?), б) )(lim xf
ax +→
, в) )(lim xf
x −∞→
, г) )(lim xf
x +∞→
,
д) при нахождении частичного предела функции по последовательности {x
n
}
)(lim xf
ax
т
→
.(Число b называется частичным пределом функции f(x) при х→а,
если существует последовательность {x
n
}, x
n
≠a, такая, что х
n
→а и
bxf
ax
т
=
→
)(lim .)
2.2. Найти односторонние пределы функции
а)
x
xf
1
2
2
1
)(
−
=
при х→0; б) 1
101
3123
)( →
<≤+
<<+
=
хпри
хпри
x
x
прих
xf .
Решение. а) При х→0+
−→
−
−∞→−+∞→+∞→ 0
2
2
1
,22,2,
1
1
11
x
xx
x
.
При х→0-
2
1
2
2
1
,0)
2
1
(2,
1
1
→
−
==−∞→
∞+∞−
x
x
.
б) При х→1- х<1, то есть f(x)=x+1. Следовательно,
2)1(lim)(lim
11
=+=
−→−→
xxf
xx
При х→1+ х>1, т.е. f(x)=3x+2. Следовательно,
5)23(lim)(lim
11
=+=
+→+→
xxf
xx
.

Страницы