Качественные задачи и контрпримеры на тему "Пределы". Сибирева А.Р - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

12
§2.Предел функции.
П.1. Определение предела функции по Гейне и Коши.
1.1. Сформулируйте определение предела функции в точке
))(lim( bxf
ax
=
→
а) по Гейне, б) по Коши на «ε-δ»-языке,
в) по Коши в терминах окрестностей.
1.2. Докажите эквивалентность определений предела функции по Гейне и
по Коши.
1.3. Сформулируйте отрицание определений 1.1.
1.4. Определите, при каких положительных значениях δ из неравенства
0<|x-x
0
|<δ следует неравенство |f(x)-b|<ε, если
а) f(x)=x
2
,x
0
=2, b=4, ε=0,001; б) f(x)=sin x,
2
0
π
=x ,b=1,ε=0,01;
в) f(x)=sign x, x
0
=0, b=1, ε=1,5.
1.5. f(x)=3x-2. Пользуясь «ε-δ»-определением предела функции, доказать,
что
4)(lim
2
=
→
xf
x
. Каково должно быть δ, чтобы при 0<|x-2|<δ имело ме-
сто неравенство |f(x)-4|<0,001?
Решение. Нам надо доказать, что для всякого ε>0 существует такое
δ>0, что из неравенства 0<|x-2|<δ следует, что |f(x)-4|<ε.
Зададим ε>0 и составим выражение |f(x)-4|=|3x-2-4|=3| x-2|<ε. Отсюда
|x-2|<ε/3, возьмем
3
ε
δ
< . Для всех значений х, удовлетворяющих условию
|x-2|<δ, будет
ε
ε
δ
=⋅<<−=−
3
33234)( xxf . Следовательно, 4)13(lim
2
=−
→
x
x
. Чис-
ло δ определяется из неравенства
3
ε
δ
< . В частности, если ε=0,001, то можно
взять
3
001,0
=
δ
.
1.6. Пользуясь определением предела функции, доказать, что
а)
7)12(lim
3
=+
→
x
x
. По заданным значениям
100
1
,
2
1
,1
321
===
εεε
подобрать
соответствующие δ
1
,δ
2
,δ
3
.
б)
0lnlim
1
=
→
x
x
. При каких положительных значениях δ из неравенства |x-
1|<δ следует неравенство |ln x|<1, |ln x|<0,1, |ln x|<0,01.
в)
2
1
143
lim
2
1
=
−
+−
→
x
xx
x
, г) 3
3
33
lim
23
3
=
−
−
→
x
xx
x
.
1.7. Сформулируйте на логическом языке следующие определения
а)
∞=
→
)(lim xf
аx
, б) +∞=
→
)(lim xf
аx
, в) −∞=
→
)(lim xf
аx
, г) bxf
x
=
∞→
)(lim ,
д)
bxf
x
=
+∞→
)(lim , е) bxf
x
=
−∞→
)(lim , ж) ∞=
∞→
)(lim xf
x
, з) )()(lim
)(
+∞−∞=
+∞−∞→
xf
x
.
1.8. Сформулируйте отрицание определений 1.7.
1.9. Приведите пример функций, задав её графически, для которой
а)
1)(lim =
+∞→
xf
x
, 1)(lim −=
−∞→
xf
x
,|f(x)|≤1; б) 2)(lim =
−∞→
xf
x
, f(x) –монотонно убывает;

Страницы