Качественные задачи и контрпримеры на тему "Пределы". Сибирева А.Р - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

11
Теорема. Равенство
n
n
x
_____
lim
∞→
=
n
n
x
∞→
____
lim является необходимым и достаточным
условием существования предела (конечного или бесконечного) последова-
тельности x
n
.
5.7. Доказать, что последовательность {x
n
} расходится, если
а)
nx
n
n
)1(−= ; б)
1
2
3
)1(
+
+
−=
n
n
x
n
n
; в) nx
n
4
sin
π
= .
5.8. Доказать, что если
аа
n
n
=
∞→
lim , то
аа
n
n
=
∞→
lim
. Вытекает ли из существова-
ния
n
n
а
∞→
lim
существование
n
n
а
∞→
lim ?
5.9. Для того чтобы
0lim =
∞→
n
n
х необходимо и достаточно, чтобы
0lim =
∞→
n
n
х
.
Докажите это.
П.6. Критерий Коши сходимости последовательности.
Критерий Коши . Для существования предела последовательности {x
n
}
необходимо и достаточно, чтобы (∀ε>0)(∃N(ε)∈
)(∀n>N,p>0) |x
n
-x
n+p
|<ε.
6.1. а) Сформулировать отрицание критерия Коши.
б) Заменить утверждение «последовательность x
n
расходится» эквива-
лентным утверждением, не пользуясь ни в каком виде терминами «схо-
дится» или «расходится».
Последовательность, удовлетворяющая критерию Коши, называется
фундаментальной.
6.2. Доказать, что последовательность {x
n
} фундаментальна
а)
n
x
n
1
=
,n∈ ; б)
2
3
1
−
+
=
n
n
x
n
;
в)x
n
=a+aq+...+aq
n
,|q|<1, n∈ ; г) ...
3
1
;
3
1
;
2
1
;
2
1
;1;1 −−−
.
6.3. Пользуясь отрицанием условия Коши, доказать, что последователь-
ность расходится
а)x
n
=5n+7; б)
n
n
)1(
2,0
−
; в)
n
nn
2
1cos −
π
.
6.4. Доказать, что фундаментальная последовательность ограничена.
6.5. Доказать, что у фундаментальной последовательности любая подпос-
ледовательность фундаментальна.
Множество, всякая фундаментальная последовательность которого,
сходится к элементу этого множества, называется полным.
6.6. Будут ли полными
а) множество рациональных чисел (рассмотреть пример:
n
n
n
x )
1
1( += ,x
n
∈ ),
б) [0;1], в) (0,1); г) [0;1), д) множество действительных чисел.

Страницы