Качественные задачи и контрпримеры на тему "Пределы". Сибирева А.Р - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

9
а)
!
1
...
3
2
1
2
1
n
u
n
++
⋅
+= . б)
222
1
...
3
1
2
1
2
1
n
u
n
++++= .
П.4. Предельные точки последовательности (частичные пределы).
Определение 1. Точка а называется предельной точкой последователь-
ности {x
n
}, если в любой окрестности точки х
0
содержится бесконечно много
точек последовательности {x
n
}.
Определение 2. Точка а называется предельной точкой последователь-
ности {x
n
}, если в любой её окрестности содержится хотя бы о дна точка по-
следовательности {x
n
}, отличная от а.
Определение 3. Точка а называется предельной точкой последователь-
ности {x
n
}, если существует подпоследовательность
,...,...,,
2
1 n
ppp
xxx
(1≤p
1
<p
2
<...), такая, что ax
n
p
n
=
∞→
lim .
4.1. Докажите эквивалентность определений 1,2,3.
4.2. Для каждой и з следующих последовательностей укажите все предель-
ные точки
а)
n
n
x
n
1+
=
, б)
n
n
x )1(−= , в)
n
nx
n
)1(
−
= , г)x
n
=n, д) ;...
4
3
;
4
2
;
4
1
;
3
2
;
3
1
;
2
1
4.3. Докажите, что предел последовательности (если он существует) явля-
ется предельной точкой.
4.4. Если в любой окрестности точки а содержится бесконечно много чле-
нов последовательности, то можно ли утверждать, что а является пре-
делом этой последовательности? Всякая ли предельная точка есть пре-
дел последовательности?
4.5. Придумайте последовательность, у которой
а) все предельные точки ей принадлежат,
б) существует предельная точка, ей не принадлежащая,
в) существует предельная точка, принадлежащая последовательности и
предельная точка, ей не принадлежащая.
4.6. Построить пример числовой последовательности, имеющей в качестве
своих частичных пределов (предельных точек)a
1
,a
2
,a
3
,.. a
m
.
4.7. Построить пример последовательности,
а) не имеющей конечных частичных пределов,
б) имеющей единственный конечный частичный предел, но не являю-
щейся сходящейся,
в) имеющей бесконечно много частичных пределов,
г) имеющей в качестве своего частичного предела каждое веществен-
ное число.
4.8. Последовательность {a
n
} сходится. Докажите, что {b
n
}, получающаяся
из {a
n
} с помощью изменения номеров членов, сходится к тому же
пределу.
4.9. Доказать, что добавление или отбрасывание конечного числа членов
последовательности не изменит её поведения (в смысле сходимости
или расходимости).

Страницы