ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
7
2) Если ax
n
n
=
∞→
lim и для всех n, начиная с некоторого,x
n
≥b(или x
n
≤c), то a≥b
(или a≤c).
3) Если
ax
n
n
>
∞→
lim (или bx
n
n
<
∞→
lim ), то для всех n, начиная с некоторого,x
n
>a
(или x
n
<b).
2.8. Доказать, что
0
5
lim =
∞→
n
n
n
n
.
Доказательство. Для всех n≥15 верно неравенство
3
15
≤
n
, поэтому
nn
n
)
3
1
()
5
(0 ≤<
при n≥15. Здесь слева и справа стоят члены последовательности,
имеющие пределом нуль. Значит, по теореме о трех последовательностях,
0)
5
(lim =
∞→
n
n
n
.
2.9. Доказать, используя теорему о трех последовательностях, что
а)
0)
3
(lim =
∞→
n
n
n
, б) 0
log
lim
2
=
∞→
n
n
a
n
,a>0(использовать xx
a
<log ).
2.10. Доказать, что
0
!
2
lim =
∞→
n
n
n
.
Доказательство. Если k≥4, 2/k≤1/2, поэтому при n≥4
nn
n
n
n
)
2
1
(
3
32
)
2
1
(
3
4
...
4
2...2
3
2
1
8
!
2
0
3
=≤⋅
⋅⋅
=<
−
. Так как 0)
2
1
(
3
32
lim =
∞→
n
n
, то и 0
!
2
lim =
∞→
n
n
n
.
2.11. Доказать, что для любого a>0
0
!
lim =
∞→
n
a
n
n
.
Для достаточно большого n, что больше 100
n
или n! ?
П.3. Сходимость и ограниченность последовательности.
3.1. Сформулируйте определение ограниченной последовательности, отри-
цание этого определения.
3.2. Верно ли утверждение:
а) если последовательность ограничена, то любая ее подпоследова-
тельность ограничена;
б) если последовательность неограничена, то любая подпоследователь-
ность неограничена;
в) если последовательность н еограничена, то хотя бы одна подпоследо-
вательность неограничена;
г) если последовательность неограничена, то существуют ограничен-
ные и неограниченные подпоследовательности;
д) если п оследовательность возрастает, то любая её п одпоследователь-
ность возрастает;
е) если подпоследовательность возрастает, то у неё могут быть убы-
вающие подпоследовательности?
3.3. Верны ли утверждения:
а) всякая бесконечно большая последовательность неограничена (срав-
ните соответствующие определения),
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- …
- следующая ›
- последняя »
