ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
5
а) 1
5
lim =
+
∞→
n
n
n
, б) 2
1
32
lim =
+
+
∞→
n
n
n
, в) 0
3
1
lim =
∞→
n
n
, г) 1
2
12
lim =
+
∞→
n
n
n
.
1.8. Дана последовательность с о бщим членом
4
9
53
+
−
=
n
n
x
n
. Известно , что
3
1
lim =
∞→
n
n
x . Найти число точек x
n
, лежащих вне окрестности
)
100
1
3
1
;
100
1
3
1
( +−
точки
3
1
.
1.9. На основе определения расходящейся последовательности доказать,
что последовательность
}
1
)1{(
n
n
+− расходится.
Доказательство. Нужно доказать, что никакое число не является преде-
лом данной последовательности.
Отметим на числовой прямой несколько членов последовательности,
например,x
1
=0,x
2
=3/2,x
3
=-2/3,x
4
=5/4,x
5
= - 4/5, x
6
=7/6,..., x
12
=13/12, x
13
= -12/13.
x
5
x
1
x
6
°°° ° °°° °
-1 x
13
x
3
01x
12
x
4
x
2
2
Этот рисунок показывает, что расстояние между двумя соседними членами
последовательности больше 1. Докажем, что это действительно так для лю-
бых двух соседних членов. Из этих членов один имеет четный номер n=2k и
1
2
1
1
2
>+=
k
x
k
. Соседний член имеет нечетный номер 2k+1 (или 2k-1) и
0
1
2
1
1
12
<
+
+−=
+
k
x
k
(или 0
1
2
1
1
12
≤
−
+−=
−
k
x
k
).
Отсюда следует, что |x
n
-x
n+1
|>1.
Для произвольного числа a возьмем окрестность единичной длины –
интервал
)
2
1
;
2
1
( +−
aa . Любые соседние члены x
n
и x
n+1
обавместенемогут
находиться в этой окрестности, так как расстояние между ними больше 1. По
крайней мере один из этих членов будет лежать вне окрестности.
Таким образом, для любого числа а существует ε=1/2 такое, что для
любого натурального N найдется n, равное либо N, либо N+1, такое, что |x
n
-
a|>1/2=ε. Это и означает , что данная последовательность расходится.
1.10. На основе определения расходящейся последовательности доказать,
что последовательность р асходится
а)
n
n
n
34
)1(
+
−
; б) )
2
sin( n
π
.
1.11. Доказать, что
а)
+∞=
∞→
n
n
lim ,
+∞=
∞→
2
lim n
n
; б) −∞=−
∞→
)5.05(lim n
n
; в)
∞=−
∞→
n
n
n
)1(lim
;
г)
+∞=
∞→
n
n
2lim
; д)
+∞=
∞→
n
n
lnlnlim
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- …
- следующая ›
- последняя »
