ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
4
§1.Предел числовой последовательности.
П.1. Определение предела числовой последовательности.
1.1. Сформулировать определение
bx
n
n
=
∞→
lim
а) на «ε-N» языке, б) в терминах окрестностей.
1.2. Сформулировать определение расходящейся последовательности, от-
рицая определение предела последовательности.
Последовательность {x
n
} называется бесконечно малой, если 0lim =
∞→
n
n
x ,
и бесконечно большой, если
∞=
∞→
n
n
xlim . Если при этом, начиная с некоторого
номера x
n
>0, то пишут +∞=
∞→
n
n
xlim , если x
n
<0, то пишут −∞=
∞→
n
n
xlim .
1.3. Сформулировать
а) на «ε-N» языке определение бесконечно малой последовательности.
Записать, с помощью неравенств, следующие определения
б)
∞=
∞→
n
n
xlim , в) +∞=
∞→
n
n
xlim , г) −∞=
∞→
n
n
xlim .
1.4. Сформулировать отрицание каждого утверждения, приведенного в за-
даче 1.3.
1.5. Если
1lim =
∞→
n
n
x , то может ли последовательность содержать
а) члены, больше 1000,
б) отрицательные члены,
в) только отрицательные члены,
г) члены, равные 1?
Ответ обосновать. Привести примеры.
1.6. Доказать, исходя из определения предела последовательности, что
число 1 является пределом последовательности
1
+
=
n
n
x
n
(n=1,2,...).
Доказательство. Рассмотрим модуль разности
1
1
1
1
1
+
=−
+
=−
nn
n
x
n
.
Возьмем произвольное число ε>0. Неравенство |x
n
-1|<ε будет выполне-
но, если
ε
<
+
1
1
n
, т.е. при 1
1
−>
ε
n . В качестве N возьмем какое-нибудь нату-
ральное число, удовлетворяющее условию
1
1
−>
ε
N . Пусть ]1
1
[ −=
ε
N , то есть
N- целая часть числа
1
1
−
ε
. Тогда для всех n≥N выполнены неравенства
ε
<
+
=−
1
1
1
n
x
n
. Это и означает, что 1 есть предел последовательности }
1
{
+
n
n
,
т.е.
1
1
lim =
+
∞→
n
n
n
.
1.7. Доказать, исходя из определения, что
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- …
- следующая ›
- последняя »
