ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
6
1.12. Доказать, что если {x
n
}- бесконечно большая последовательность
(x
n
≠0), то }
1
{}{
n
n
x
y
= бесконечно малая последовательность.
Обратно, если {y
n
}- бесконечно малая последовательность (y
n
≠0), то
}
1
{}{
n
n
y
x
= бесконечно большая последовательность.
1.13. Доказать, что последовательность {a
n
} является
1) бесконечно большой при |a|>1,
2) бесконечно малой при |a|<1.
П.2. Свойства пределов.
Свойства пределов, связанные с арифметическими действиями.
1) Если существует
n
n
x
∞→
lim , то для любого a существует
n
n
n
n
xааx
∞→∞→
= lim)(lim .
2) Если существуют
n
n
x
∞→
lim и
n
n
y
∞→
lim , то
а) существует
n
n
n
n
nn
n
yxyx
∞→∞→∞→
+=+ limlim)(lim ;
б) существует
n
n
n
n
nn
n
yxyx
∞→∞→∞→
⋅=⋅ limlim)(lim ;
в) если y
n
≠0 и 0lim ≠
∞→
n
n
y ,то существует
n
n
n
n
n
n
n
y
x
y
x
∞→
∞→
∞→
=
lim
lim
lim
.
2.1. Если существует
)(lim
nn
n
yx +
∞→
, то существуют ли
n
n
x
∞→
lim ,
n
n
y
∞→
lim ?
Если ответ положительный – доказать, если отрицательный – привести
примеры.
2.2. Если существует
()
nn
n
yx ⋅
∞→
lim , то существуют ли
n
n
x
∞→
lim ,
n
n
y
∞→
lim ?
2.3. Если {x
n
} и {y
n
} расходятся, то могут ли сходится {x
n
+y
n
}, {x
n
⋅y
n
}?
2.4. Доказать, что если последовательность{x
n
}–бесконечно мала, апосле-
довательность {y
n
}–ограниченная, то {x
n
⋅y
n
}–бесконечно малая по-
следовательность.
2.5. Если последовательность (x
n
) бесконечно малая, а y
n
– произвольная, то
можно ли утверждать, что
()
0lim =⋅
∞→
nn
n
yx ?
2.6. Пусть
+∞=
∞→
n
n
xlim и y
n
≥c для всех n∈N.
а) Доказать, что
+∞=+
∞→
)(lim
nn
n
yx ,
б) Доказать, что при с>0
+∞=⋅
∞→
)(lim
nn
n
yx
2.7. Будет ли верно утверждение 2.6, если {y
n
}–произвольная последова-
тельность?
Свойства пределов, связанные с неравенствами.
1) Если
azx
n
n
n
n
==
∞→∞→
limlim и для всех n, начиная с некоторого,x
n
≤y
n
≤z
n
, то
аy
n
n
=
∞→
lim (теорема о трех п оследовательностях).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- …
- следующая ›
- последняя »
