Качественные задачи и контрпримеры на тему "Пределы". Сибирева А.Р - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

8
б) всякая неограниченная последовательность является бесконечно
большой?
3.4. Доказать, что {x
n
} неограниченная, но не стремится к ∞, если
а)
)
2
cos(
2
n
nx
n
π
= ,
б)
n
nx
n
)1(−
= .
Теорема. Если последовательность имеет предел, то она ограничена.
Ограниченность последовательности – необходимое условие её схо-
димости.
3.5. Всякая ли ограниченная последовательность сходится. Верно ли ут-
верждение, обратное сформулированной выше теореме? Является ли
ограниченность достаточным условием сходимости?
3.6. Может ли иметь конечный предел неограниченная последователь-
ность?
Ограниченность последовательности – необходимое условие её сходи-
мости. То есть, если последовательность неограниченная, то она расходится.
3.7. Доказать, что последовательность
}
5
{
2
n
n −
расходится.
Доказательство. Докажем, что данная последовательность неограни-
ченная. Имеем
5
5
−≥−= n
n
nx
n
. Пусть С- произвольное положительное число.
Возьмем какое-нибудь натуральное число n
0
>C+5, тогда Cnx
n
>−≥ 5
0
0
. Это
означает, что последовательность неограниченная, а поэтому расходится.
3.8. Доказать ссылаясь на необходимое условие сходимости последова-
тельности, что последовательность расходится
а)x
n
=n, б)x
n
=n
2
, в)
n
nn
x
n
32
3
++
=
.
Теорема. В классе монотонных п оследовательностей необходимым и
достаточным условием сходимости является ограниченность.
3.9. Может ли иметь предел немонотонная последовательность?
3.10. Доказать, что
а)
}
3
4
{
−
n
n
монотонно убывает, б) }
1
{
n
n −
монотонно возрастает,
в)
}
2
1
1{
n
+ монотонно убывает, г) }
1
{
2
n
n +
монотонно возрастает.
Будут ли эти последовательности ограниченными? Будут ли они сходится?
3.11. Начиная с какого номера последовательность
}
2
{
2
n
n
будет убывать? Бу-
дет ли она ограниченной снизу? Сходится ли данная последователь-
ность?
3.12. Доказать, что последовательность {u
n
} имеет предел

Страницы