Качественные задачи и контрпримеры на тему "Пределы". Сибирева А.Р - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

10
4.10. Докажите, что всякая ограниченная последовательность имеет хотя бы
одну предельную точку (принцип Больцано - Вейерштрасса).
4.11. Доказать, что ограниченная последовательность сходится тогда и толь-
ко тогда, когда она имеет только одну предельную точку.
4.12. Рассмотрим следующие пять свойств последовательностей:
1) тожественно равняться а,2)иметь число а пределом,
3)иметь число а предельной точкой,4)быть ограниченной,
5)стремиться к бесконечности.
Каждую последовательность можно охарактеризовать набором из пяти
знаков + или -. Например, набор -+++-означает, что последовательность
обладает свойствами 2,3,4 и не обладает свойствами 1,5. Некоторые наборы
не имеют смысла, например +++++.
а) укажите все наборы, имеющие смысл. Для каждого из них постройте
последовательность, характеризуемую этим набором.
б) докажите, что остальные наборы не имеют смысла.
П.5. Нижний и верхний пределы последовательности.
Наименьший частичный предел (конечный или бесконечный) последо-
вательности x
n
n
n
x
_____
lim
∞→
называется нижним пределом, а наибольший частичный
предел её
n
n
x
∞→
____
lim называется верхним пределом.
5.1. Найти наименьший член следующих последовательностей
а)x
n
=n
2
-5n+1; б)
n
nx
n
100
+=
; в)
2
sin5
n
nx
n
π
+= .
5.2. Найти наибольший член следующих последовательностей
а)
n
n
n
x
2
2
= ; б)
2
100 n
n
x
n
+
=
.
5.3. Придумайте ограниченную последовательность, которая
а) имеет наибольший и наименьший член,
б) имеет наибольший член, но не имеет наименьшего члена,
в) не имеет ни наименьшего, ни наибольшего члена.
5.4. Для каждой из следующих последовательностей {x
n
} найти inf{x
n
},
sup{x
n
},
n
n
x
_____
lim
∞→
,
n
n
x
∞→
____
lim
а)
n
x
n
1
1+=
; б)
4
cos
1
2
n
n
n
x
n
π
+
=
; в) )12()1( +−= nx
n
n
;
г)
3
sin
1
2 n
n
n
x
n
π
−
+
=
; д)
n
x
n
n
1
2
)1(2
−
−+
=
.
5.5. Для каких последовательностей пределом является верхняя (нижняя)
грань множества их значений?
5.6. Доказать, что сходящаяся числовая последовательность достигает либо
своей верхней грани, либо своей нижней грани, либо той и другой. По-
строить примеры.

Страницы