Качественные задачи и контрпримеры на тему "Пределы". Сибирева А.Р - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

13
в) 1)(lim −=
−∞→
xf
x
и |f(x)|≥1; г) +∞=
−∞→
)(lim xf
x
, +∞=
+∞→
)(lim xf
x
.
1.10. Понятие предела появилось в XVII в. в работах английского математи-
ка Валлиса. Встречались разные взгляды. Ньютон (1642-1727) говорил
о пределе функции, как о последнем значении переменной y.
Д’Аламбер (1717-1763) считал, что переменная величина у не может
принимать значение, равное пределу, к которому стремиться. Чем эти
взгляды отличаются от определения предела по Коши?
1.11.
1
2
1
)(
+
+
=
x
x
xf
. Доказать, что
2
1
)(lim =
∞→
xf
x
.
Решение. Равенство
2
1
)(lim =
∞→
xf
x
на языке неравенств означает, что для
всякого ε>0 существует числу M>0, такое, что для всех х, удовлетворяющих
неравенству |x|>M, выполняется н еравенство
ε
<
+
=−
+
+
=−
12
1
2
1
12
1
2
1
)(
xx
x
xf
.
Отсюда
ε
1
12 >+x
. Так как |2x+1|>|2x|-1, то достаточно решить неравенство
ε
1
12 >−x
. Решая это неравенство, получим )
1
1(
2
1
ε
+>x . Положим теперь
ε
ε
2
1+
=M
. Из наших рассуждений следует, что при |x|>M выполняется нера-
венство
ε
<−
2
1
)(xf . Следовательно,
2
1
12
1
lim =
+
+
∞→
x
x
x
.
1.12. Доказать, что а)
2
1
2
→
+
x
x
при х→-∞, б) 2
1
2
→
+
x
x
при х→+∞.
Определением по Гейне удобно пользоваться тогда, когда доказывает-
ся, что функция f(x) не имеет предела. Для этого достаточно показать, что
существуют две последовательности
{}
,
n
x и
{}
,,
n
x такие, что
axx
n
n
n
n
==
∞→∞→
,,,
limlim
, но
соответствующие последовательности
{}
)(
,
n
xf и
{}
)(
,,
n
xf не имеют одинаковых
пределов.
1.13. Доказать, что функция
)sin()(
x
xf
π
= не имеет предела в точке х=0.
Доказательство. Возьмем две последовательности
n
x
n
1
=
и
1
4
2
,
+
=
n
x
n
,
сходящиеся к точке х=0.
Рассмотрим соответствующие последовательности
{}
)(
n
xf и
{
}
)(
,
n
xf
значений функции. Так как последовательность
π
nxf
n
sin)( = сходится к ну-
лю, а последовательность
)2/)14(sin()(
,
+= nxf
n
π
к единице, то предел функции
)/sin()( xxf
π
=
вточкех=0 не существует.
1.14. Используя отрицание определения предела функции по Гейне, дока-
зать, что соответствующие пределы не существуют
а)
1
1
sinlim
1
−
→
x
x
; б)
x
x
1
0
2lim
→
; в) x
x
sinlim
∞→
; г )
x
x
x
1
cos
1
lim
0→
.

Страницы