Качественные задачи и контрпримеры на тему "Пределы". Сибирева А.Р - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

17
3.11. Доказать, что если функция f(x) вточкех
0
имеет конечный положи-
тельный предел, равный числу а, то существует такой интервал (α;β),
содержащий точку х
0
, что
2
)(
a
xf
> ,x∈(α;β),х≠х
0
.(Воспользуйтесь оп-
ределением предела функции по Коши, положите
2
0
a
=
ε
.)
3.12. Доказать, что если на интервале (α;β), содержащем точку х
0
, справед-
ливы неравенства g
1
(x)≤f(x)≤g
2
(x), x≠x
0
, axgxg
xxxx
==
→→
)(lim)(lim
21
00
, то
axf
xx
=
→
)(lim
0
.
(Воспользуйтесь определением предела функции по Гейне и аналогич-
ным свойством (см. п. 1.2.) предела последовательности).
§3.Непрерывность функции.
П.1.Непрерывность и точки разрыва функции
1.1. Сформулируйте определение непрерывной в точке функции в терминах
а)
)(lim
0
xf
xx→
, б) на “ε-δ” языке, в) в терминах окрестностей,
г) в терминах приращений аргумента и функции,
д) используя определение предела функции по Гейне.
1.2. Доказать, что функция y=x
2
непрерывна в каждой точке x
0
∈ .
Решение. Воспользуемся определением 1.1. г). Для любой точки x
0
∈
и ∆х имеем ∆y=(x
0
+∆x)
2
-x
0
2
=x
0
2
+2x
0
⋅∆x+(∆x)
2
-x
0
2
=2x
0
⋅∆x+(∆x)
2
.
0))(2(limlim
2
0
00
=∆+∆=∆
→∆→∆
xxxy
xx
, следовательно, функция y=x
2
непрерывна в каж-
дой точке x
0
∈ .
1.3. Докажите, пользуясь определением 1.1. б)(или 1.1. г)), что функции
непрерывны в каждой точке х
0
области определения
а) y=2x-1, б)y=x
3
, в)
x
y
1
=
, г)y=|x|, д)y=2
x
.
1.4. Докажите, пользуясь неравенством |sin x|≤|x|, непрерывность функции
y в каждой точке области определения, если
а)y=sinx, б) y= cos x.
1.5. Сформулировать на языке “ε-δ” утверждение:“функция f(x), опреде-
ленная в окрестности точки х
0
, не является непрерывной в этой точке”.
1.6. Сформулировать на языке “ε-δ” определение непрерывной слева (спра-
ва) вточкех
0
функции.
Приведите примеры функции непрерывной слева в точке х
0
, для
которой а)
)()(lim
0
0
xfconstxf
xx
≠=
+→
, б) )()(lim
0
−∞+∞=
+→
xf
xx
. Функцию задайте гра-
фически.
1.7. Приведите классификацию точек разрыва. Определения проиллюстри-
руйте примерами, соответствующие функции задайте графически.
1.8. Исследовать функции на непрерывность, непрерывность слева и спра-
ва, установить вид точек разрыва

Страницы