Качественные задачи и контрпримеры на тему "Пределы". Сибирева А.Р - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

19
2.4. Можно ли утверждать, что квадрат разрывной функции есть функция
разрывная. Если да – докажите, в противном случае – приведите при-
мер.
2.5. Докажите, что если f(x) непрерывная функция, то | f(x)| есть также не-
прерывная функция. Верно ли обратное утверждение?
2.6. Докажите, что если функция y=f(x) непрерывна в точке х
0
и f(x
0
)>0, то
существует окрестность точки х
0
, в которой f(x)>0.
2.7. Если функция не имеет нулей, то можно ли утверждать, что она знако-
постоянна?
2.8. Функция f непрерывна в точке х
0
, ивлюбойокрестностиэтойточки
имеются как значения х, в которых функция положительна, так и зна-
чения х, в которых функция отрицательна. Найти f(x
0
).
2.9. Используя свойства непрерывных функций, доказать, что уравнение
x
5
-3x-1=0 имеет по крайней мере один действительный корень, за-
ключенный между 1 и 2.
2.10. Привести пример функции, непрерывной на каждом из промежутков
Х
1
иХ
2
, но не являющейся непрерывной на множестве Х
1
∪Х
2
.
2.11. Привести пример непрерывной на интервале функции
а) неограниченной на этом интервале,
б) ограниченной на этом интервале, но не достигающей ни своей верх-
ней, ни своей нижней грани.
2.12. Доказать, что если функция определена и н епрерывна на о трезке, то
множество её значений – отрезок.
2.13. В каком случае все значения непрерывной на [a;b] функции рацио-
нальны (иррациональны)?
2.14. Доказать, что все точки разрыва ограниченной монотонной функции
являются точками разрыва 1 рода.
2.15. Доказать, что если f(x)
1) определена и монотонна на [a;b],
2) в качестве своих значений принимает все числа между f(a) и f(b), то
f(x) непрерывна на [0;a].
2.16. Показать, что функция
≠
=−
=
0,sin
0,1
)(
хприx
хпри
xf принимает на[a;b] все про-
межуточные значения между f(0) и f(а), но не является непрерывной на
[0;a].
2.17. Привести пример функции f, непрерывной в точке х
0
, имеющей обрат-
ную функцию, разрывную в точке y
0
=f(x
0
).
2.18. Означает ли следующее свойство непрерывность функции y=f(x) вточ-
ке х
0
: для любого δ>0 существует такое ε>0, что из неравенства
| f(x)- f(x
0
)|<ε следует |x-x
0
|<δ?
2.19. Может ли разрывная функция иметь обратную?

Страницы