Качественные задачи и контрпримеры на тему "Пределы". Сибирева А.Р - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

21
а) Функция непрерывная на замкнутом ограниченном множестве (вча-
стности, на отрезке) равномерно непрерывна на нем (теорема Кантора).
б) Если функция определена и непрерывна на луче 0≤x<+∞ и
)(lim xf
x +∞→
существует и конечен, то функция равномерно непрерывна на этом
луче.
в) Непрерывная ограниченная монотонная функция f(x) на конечном
или бесконечном промежутке (a;b) равномерно непрерывна на (a;b).
Приведите примеры функций, о которых, на основе доказанных пред-
ложений, можно утверждать, что они равномерно непрерывны на заданных
множествах.
3.8. Доказать, что если функция неограничена на ограниченном интервале,
то она не является равномерно непрерывной на этом интервале.
Привести пример функции, удовлетворяющей условиям приведенного
предложения, следовательно, не являющейся равномерно непрерывной на
заданном интервале.
3.9. Пусть функция f(x) непрерывна на множестве Х. При этом нарушено
одно из условий утверждений
3.6. а)–замкнутость (или ограниченность) множества Х,
3.6. в)–ограниченность (или монотонность) f(x) на (a;b).
Что можно сказать при этом о равномерной непрерывности функции
f(x) на заданном множестве?
(Если функция может быть либо равномерно непрерывной, либо нет –
приведите примеры. См. задачу 3.8.)
§4.Сходимость в метрических и нормированных пространствах. Предел
и непрерывность функции нескольких переменных, функции комплекс-
ной переменной.
П.1. Сходимость в метрических и нормированных пространствах. Сходи-
мость последовательностей функций. Сходимость в
n
.
Определение. Последовательность {x
n
} точек метрического простран-
ства Х называется сходящейся по метрике к х∈Х, если
0),(lim =
∞→
xx
n
n
ρ
.
Определение. Последовательность {x
n
} точек линейного нормирован-
ного пространства Х называется сходящейся по норме к х∈Х, если
0lim =−
∞→
xx
n
n
.
Свойства сходящихся последовательностей.
1) Никакая последовательность точек метрического пространства не может
иметь более одного предела.
2) Если последовательность точек метрического пространства имеет предел,
то и любая её подпоследовательность имеет тот же предел.
3) Всякая сходящаяся последовательность точек {x
n
} метрического про-
странства Х ограничена.

Страницы