Качественные задачи и контрпримеры на тему "Пределы". Сибирева А.Р - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

23
1.7. Докажите, что сходимость последовательности функций по метрике
пространства C[a;b] равносильна равномерной сходимости.
1.8. Показать, что из равномерной сходимости (сходимости в метрике
C[a;b]) следует поточечная сходимость. Верно ли обратное?
Пусть на одном и том же линейном пространстве Х заданы две нормы.
Если любая последовательность из Х, сходящаяся по первой норме, сходится
(к тому же пределу) по второй норме, то говорят , чтоперваянорманеслабее
(сильнее) второй.
1.9. Докажите, что норма
1
⋅ пространства C
1
[a;b] слабее нормы ⋅ про -
странства C[a;b].
Доказательство. Так как
fabxfabdxxff
bxa
b
a
)()(max)()(
1
−=−≤=
≤≤
∫
, то из
сходимости по норме C[a;b] следует сходимость по норме C
1
[a;b].
Для завершения доказательства достаточно построить пример, показываю-
щий, что обратное утверждение неверно. Положим a=0, b=1 и рассмотрим
последовательность функций из задачи 1.6. а), в) сходится к f(x)≡0 в C
1
[0;1],
но не сходится к этой функции в C[0;1].
1.10. Докажите, что
а) норма пространства C
2
[a;b] слабее нормы пространства C[a;b],
б) норма пространства C
1
[a;b] слабее нормы пространства C
2
[a;b].
1.11. Какой из видов сходимости сильнее: равномерная сходимость (по мет-
рике C[a;b]), поточечная сходимость, сходимость по метрике C
1
[a;b],
сходимость по метрике C
1
[a;b]. Расположите от слабой сходимости к
более сильной. Обоснуйте ответ.
В пространствах
nnn
RRR
∞
,,
12
наряду со сходимостью последовательности
точек по соответствующей норме рассматривают ещё покоординатную схо -
димость. Говорят, что последовательность точек
)),...,((
)()(
1
)( k
n
kk
xxx = сходится к
точке x=(x
1
,...,x
n
) покоординатно, если
m
k
m
k
xx =
∞→
)(
lim
(m=1,...,n).
1.12. К какой точке сходится последовательность точек
+
−
=
1
2
;
1
n
n
n
n
M
n
по-
координатно? Сходится ли эта последовательность к указанной точке в
пространствах
22
1
2
2
,,
∞
RRR ?
Если каждая из двух норм на Х не слабее другой, то такие нормы назы-
ваются эквивалентными.
1.13. Докажите, что
а) сходимость по метрике пространства
n
R
2
эквивалентна покоординат-
ной сходимости;
б) сходимость по метрике пространства
n
R
1
эквивалентна покоординат-
ной сходимости;

Страницы