Высшая математика для студентов технических специальностей в формулах и таблицах. Часть 1. Сибирева А.Р. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

14
3.7.Эквивалентные бесконечно малые
Определение. Бесконечно малые
)(x
α
и )(x
β
( 0=
→
)x(lim
ax
α
, 0
=
→
)x(lim
ax
β
)
называются эквивалентными бесконечно малыми при
a
x
→ , если
1
)(
)(
lim =
→
x
x
ax
β
α
(обозначение: )(x
α
~ )(x
β
).
Теорема: Если две пары бесконечно малых при
a
x
→ величин )(x
α
и
)(
~
x
α
,
)(x
β
и
)(
~
x
β
таковы, что
)(x
α
~
)(
~
x
α
,
)(x
β
~
)(
~
x
β
, то
)x(
~
)x(
~
lim
)x(
)x(
lim
axax
β
α
β
α
→→
= .
Таблица эквивалентных бесконечно малых
При
0→x
x
sin ~
x
;
x
tg ~
x
;
x
arcsin
~
x
;
x
arctg ~
x
;
)xln( +1
~
x
;
)x(log
a
+
1 ~
aln
x
;
)1( −
x
e ~
x
;
)1( −
x
a ~ alnx
⋅
;
)1)1(( −+
α
x ~
x
,...)3,2,1(
≠
α
.
3.8. Непрерывность и классификация точек разрыва
Определение: Если
)a(f)x(flim
ax
=
→
, то функция )x(fy
=
называется не-
прерывной в точке
a .
Теорема: Для того чтобы функция
)x(fy
=
была непрерывной в точке
a необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:
1)
)x(fy =
определена в точке a и в некотором интервале, содержащем a ;
2)
)x(flim)x(flim
axax +→−→
=
;
3)
)a(f)x(flim)x(flim
axax
==
+→−→
.
Определение: Если хотя бы одно из условий 1)-3) не выполнено, то го-
ворят, что функция
)(xfy = в точке a терпит разрыв.
Классификация точек разрыва
Точки разрыва
I рода II рода
)x(flim),x(flim
axax +→−→
существуют и конечны
)x(flim
ax −→
или )x(flim
ax +→
не существуют или бесконеч-
ны (один из них или оба)
Устранимый разрыв
I рода
Неустранимый
разрыв II рода
)a(f)x(flim)x(flim
axax
≠
=
+→−→
)x(flim)x(flim
axax +→−→
≠

Страницы