ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
17
то линейная часть этого приращения x)x(A
∆
называется дифференциалом
функции )x(fy = . Обозначение x)x(Ady
∆
=
.
Для существования дифференциала функции )x(fy
=
необходимо и
достаточно, чтобы существовала конечная производная )x(f
′
, причем
dx)x(fdy
′
=
, где xdx
∆
=
.
Для приближенных вычислений используют формулу
dyy ≈∆
или )xx()x(f)x(f)x(f
000
−
⋅
′
+
≈
.
4.9. Формула Тейлора
Функция )x(fy
=
, дифференцируемая
1
+
n
раз в некотором интервале,
содержащем точку a , может быть представлена в виде
n
n
)n(
R)ax(
!n
)a(f
...)ax(
!
)a(f
)ax(
!
)a(f
)a(f)x(f +−++−
′′
+−
′
+=
2
21
,
где
1
1
1
+
+
−
+
−+
=
n
)n(
n
)ax(
)!n(
))ax(a(f
R
θ
, 10
<
<
θ
.
Частный вид формулы Тейлора при 0
=
a принято называть формулой
Маклорена.
4.10. Исследование функций
Определения Теоремы
Функция называется возрас-
тающей (убывающей) на ин-
тервале
(a,b), если
) f(x)f(x
21
< при bxxa <<
<
21
(или, соответственно,
) f(x)f(x
21
> при bxxa <<<
21
)
Достаточные условия возрастания и убы-
вания. Пусть функция
)x(fy
=
непрерывна
на
(a,b)
. Если при
);(x ba
∈
0
0
>
′
)x(f ,
то функция возрастает,
если
0)(
0
<
′
xf , то функция убывает на (a,b).
Функция )x(fy = имеет в
точке
0
x экстремум (макси-
мум или минимум),
если она определена в ин-
тервале
δ)x,-δ(x +
00
и для всех
δ)x,-δ(xx +∈
00
выполнено,
соответственно, неравенство
)f(xf(x)
0
< или )f(xf(x)
0
> .
Необходимые условия экстремума. Пусть
0
x – точка экстремума функции
)x(fy =
,
тогда
)(
0
xf
′
равна 0 или не существует.
Достаточные условия.
Теорема 1. Если 1) функция
)x(fy = опреде-
лена и непрерывна в некоторой окрестно-
сти
δ)x,-δ(x
+
00
точки
0
x такой, что )(
0
xf
′
равна
0 или не существует,
2)
)x(fy
=
имеет конечную производную
(x)f
′
на множестве δ),x(x)x,-(x +∪
0000
δ
,
3) производная имеет разные знаки на про-
межутках
)x,-δ(x
00
и δ),x(x
+
00
,
то
0
x – точка экстремума.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- …
- следующая ›
- последняя »
