ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
18
Теорема 2. Если функция
)x(fy =
имеет вто-
рую производную
(x)f
′
′
, в некоторой точке
0
x
выполнены условия
0
0
=
′
)(xf и 0
0
≠
′
′
)(xf ,
то в этой точке функция
)x(fy =
имеет экс-
тремум, а именно: максимум, когда
0
0
<
′
′
)(xf
,
минимум, когда 0
0
>
′
′
)(xf .
Теорема 3. Пусть функция
)x(fy = имеет в
некотором интервале
δ)x,-δ(x +
00
производные
(x)f
′
,…, (x)f
)(n-1
и в точке
0
x
производную
)(xf
(n)
0
, причем
0
0
=
′
)(xf , 0
0
=
′
′
)(xf ,…, 0
0
1
=)(xf
)(n-
, 0
0
≠)(xf
(n)
.
В таком случае,
1) если
n – четное число, то в точке
0
x
функ-
ция
f(x)y
=
имеет экстремум, а именно:
максимум при
0
0
<)(xf
(n)
, и минимум при
0
0
>)(xf
(n)
;
2) если
n - число нечетное, то в точке
0
x
функция
f(x)y
=
экстремума не имеет.
Если в некоторой окрестно-
сти точки
0
x кривая распо-
ложена ниже любой своей
касательной, то кривая на-
зывается выпуклой в точке
0
x . Если кривая расположе-
на выше любой своей каса-
тельной, то она называется
вогнутой в точке
0
x .
Достаточные условия вогнутости и вы-
пуклости. Если функция
)x(fy = дважды
дифференцируема на
(a,b) и 0
0
>
′′
)(xf для
всех
)(a;bx
∈
, то график функции на этом ин-
тервале вогнутый. Если
0
0
<
′′
)(xf для всех
)(a;bx
∈
, то график на этом интервале выпук-
лый.
Точки, в которых меняется
направление вогнутости
графика функции, называ-
ются точками перегиба.
Достаточное условие точки перегиба. Точ-
ка
0
x , для которой 0
0
=
′
′
)(xf или )(xf
0
′′
не су-
ществует, причем
)(xf
0
′
определена, есть
точка перегиба, если
(x)f
′
′
меняет свой знак
при переходе через
0
x .
4.11. Асимптоты
Определение. Если расстояние от точки
)y,x(M кривой f(x)y = до не-
которой прямой
L при неограниченном удалении точки
M
от начала коор-
динат стремится к нулю, то эта прямая называется асимптотой кривой
f(x)y = .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- …
- следующая ›
- последняя »
