Высшая математика для студентов технических специальностей в формулах и таблицах. Часть 1. Сибирева А.Р. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

6
известных) и определитель 0
≠
Adet , то система имеет единственное решение,
которое находится по формуле
B
A
X
1−
=
.
Метод Гаусса решения системы линейных уравнений.
Рангом системы строк (соответственно столбцов) матрицы А называет-
ся наибольшее число линейно независимых среди них.
Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие
преобразования: 1) перестановка двух любых строк, 2) умножение строки на
число c , отличное от нуля, 3) прибавление к одной строке другой строки,
умноженной на любое число.
Две матрицы называются эквивалентными, если от одной из них к дру-
гой можно перейти путем конечного числа элементарных преобразований.
При элементарных преобразованиях матрицы ее ранг не изменяется,
иными словами, ранги эквивалентных матриц равны.
Ступенчатой матрицей называется матрица, обладающая тем свойст-
вом, что если в какой-либо из ее строк первый отличный от нуля элемент
стоит на k -ом месте, то во всех следующих строках на первых k местах сто-
ят нули.
Алгоритм решения системы линейных уравнений методом Гаусса.
1. Записать расширенную матрицу B/A ,отвечающую системе уравнений (1).
2. Элементарными преобразованиями привести расширенную матрицу B/A
к ступенчатому виду.
3. Провести исследование совместности системы линейных уравнений, ис-
пользуя теорему Кронекера-Капелли:
а) если
nB/rangArangA ==
, где n число неизвестных, то система линейных
уравнений имеет единственное решение;
б) если nB/rangArangA <= , где n число неизвестных, то система линейных
уравнений имеет бесконечно много решений;
в) если B/rangArangA ≠ , то система линейных уравнений не имеет реше-
ний.
4. Записать ступенчатую систему линейных уравнений.
а) Если nB/rangArangA == , последовательно найти
11
x,...,x,x
nn −
.
б) Случай nB/rangArangA
<
= . Неизвестные, с которых начинаются урав-
нения ступенчатой системы, назовем базисными переменными (существует
более общий способ выбора базисных переменных). Остальные переменные
назовем свободными. Выразим базисные переменные через свободные, полу-
чим тем самым общее решение системы уравнений.
в) Если B/rangArangA ≠ , то система линейных уравнений не имеет реше-
ний.

Страницы