Составители:
140
Интегрируя данное равенство по
0
λ
на основании условия согласо-
ванности плотностей вероятностей получим
()
()( )
11
11 11 11 1
, ..., , , ...,
, / , , ..., , , ...,
mmm
mm m m m m m
Ptt
ttP tt
−− − − −
λλ =
=π λ λ λ λ
.
Условную плотность вероятности, являющуюся первым сомножите-
лем в правой части данного равенства, принято называть плотностью
вероятности перехода. Применяя использованное соотношение после-
довательно для разных m, получим, что многомерные плотности веро-
ятностей марковских процессов выражаются через плотность вероятно-
сти перехода и одномерную начальную плотность вероятности
()
00
,pt
λ
следующим образом:
()
()( )
()()
10 0.
11 11 2 2
11 0 0 0 0
, ..., , , ...,
,/ , , / ,
,/ , , .
mmm
mm m m m m m m m
ptt
tt t t
ttpt
+
−− −− − −
λλ =
=π λ λ π λ λ ×
×π λ λ λ
(П1.6)
Следовательно, начальная одномерная плотность вероятности и плот-
ность вероятности перехода полностью определяют марковский процесс.
Плотность вероятности перехода удовлетворяет нескольким условиям.
Она неотрицательна и удовлетворяет условию нормировки
() ()
00 00
,/ , 0; ,/ , 1, ,
tt ttd
Λ
πλ λ ≥ πλ λ λ= λ∈Λ
∫
(П1.7)
и переходит в дельта-функцию при совпадении рассматриваемых мо-
ментов времени:
()()
0
00 0
lim , / , .
tt
tt
→
πλ λ =δλ−λ
(П1.8)
3. Уравнение Фоккера–Планка–Колмогорова для плотности вероят-
ности перехода. Плотность вероятность перехода
()
00
,/ , ,
tt
πλ λ
0
tt
>
непре-
рывного марковского процесса удовлетворяет следующему уравнению
в частных производных [13, 15]:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 138
- 139
- 140
- 141
- 142
- …
- следующая ›
- последняя »
