Составители:
142
Если значение марковского процесса
()
t
λ
в начальный момент вре-
мени t
0
не фиксировано, а является случайным и имеет плотность веро-
ятности
()
0
p λ
, то в качестве начального условия указывается эта плот-
ность вероятности
() ()
00
,pt pλ=λ
. (П1.13)
4. Уравнение Фоккера–Планка–Колмогорова для плотности ве-
роятности марковского процесса в произвольный момент време-
ни. Необходимую для решения задач фильтрации плотность вероятно-
сти в произвольный момент времени можно вычислить следующим
образом [13]. Используя условие согласованности плотностей веро-
ятности, имеем
() ( )( )
00 00 0
,,,/,
pt p t t t d
∞
−∞
λ= λ πλ λ λ
∫
. (П1.14)
Отсюда видно, что при заданном начальном распределении
() ()
00
,pt pλ=λ
для определения
()
,pt
λ
нужно найти фундаменталь-
ное решение уравнения (9) при начальном условии (12). Второй путь
позволяет сразу искать решение уравнения Фоккера–Планка–Колмого-
рова для плотности
()
,pt
λ
с начальным условием (13). Для этого умно-
жим (9) на
()
00
,pt
λ
, проинтегрируем по
0
λ
и с учетом (14) получим
() ()() ()()
2
2
1
,,, ,,
2
pt atpt btpt
tt
t
∂∂ ∂
λ=− λ λ + λ λ
∂∂
∂
. (П1.15)
Таким образом, одномерная плотность вероятности
()
,pt
λ
, пред-
ставляющая для многих задач непосредственный практический инте-
рес, удовлетворяет уравнению Фоккера–Планка–Колмогорова (15).
При решении уравнения (15) нужно использовать в качестве началь-
ного условие (13), а также указать граничные условия.
Г р а н и ч н ы е у с л о в и я. Граничные условия определяются
сущностью задачи и могут быть весьма разнообразными. Формулиров-
ка граничных условий и их интерпретация рассмотрены в [13, 15]. Если
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 140
- 141
- 142
- 143
- 144
- …
- следующая ›
- последняя »
