Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 104 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

104 Т е м а V. Схема Бернулли. Биномиальное распределение
Решение. Если идеализировать ситуациию и считать, что все
члены семинара настолько добросовестны, что только и ждут, как
бы выйти к доске и что-нибудь доложить, то мы имеем 16 испыта-
ний в полиномиальной схеме с тремя возможными исходами:
E
1
– докладчик девушка (вероятность p
1
=
3
8
),
E
2
– докладчик юноша (вероятность p
2
=
4
8
),
E
3
– докладчик руководитель (вероятность p
3
=
1
8
).
Искомая вероятность равна
16!
7! · 7! · 2!
³
3
8
´
7
³
4
8
´
7
³
1
8
´
2
≈ 0.052 .
Пример 7. Найдем вероятность ничейного исхода матча в
примере 2, с. 99, если допустить возможность ничейного окончания
одной партии.
Решение. Пусть p — вероятность выигрыша одной партии
шахматистом A, для игрока B вероятность выигрыша также равна
p. Тогда вероятность ничьей в одной партии равна 1 − 2p. Матч
закончится вничью в следующих ситуациях (T — ничья, А — вы-
игрыш игрока А, В — выигрыш игрока В):
Исход матча Вероятность При p =
1
/
3
6T, 0A, 0B
6!
6! 0! 0!
(1 − 2p)
6
p
0
p
0
= (1 − 2p)
6
1
/
729
4T, 1A, 1B
6!
4! 1! 1!
(1 − 2p)
4
p
1
p
1
= 30(1 − 2p)
4
p
2
30
/
729
2T, 2A, 2B
6!
2! 2! 2!
(1 − 2p)
2
p
2
p
2
= 90(1 − 2p)
2
p
4
90
/
729
0T, 3A, 3B
6!
0! 3! 3!
(1 − 2p)
0
p
3
p
3
= 20p
6
20
/
729
Σ
1 − 12p + 90p
2
− 400p
3
+
+1050p
4
− 1512p
5
+ 924p
6
47
/
243
3. Применив схему Бернулли в примере 5, с. 101, мы неглас-
но предположили, что после ответа каждого студента билет для
следующего экзаменуемого формируется из всего списка вопросов.
 104          Тема      V. Схема Бернулли. Биномиальное распределение


   Решение. Если идеализировать ситуациию и считать, что все
члены семинара настолько добросовестны, что только и ждут, как
бы выйти к доске и что-нибудь доложить, то мы имеем 16 испыта-
ний в полиномиальной схеме с тремя возможными исходами:
    E1 – докладчик девушка            (вероятность p1 = 38 ),
    E2 – докладчик юноша              (вероятность p2 = 48 ),
    E3 – докладчик руководитель (вероятность p3 = 18 ).
 Искомая вероятность равна
                           ³ ´7 ³ ´7 ³ ´2
                   16!      3    4    1
               7! · 7! · 2! 8    8    8
                                          ≈ 0.052 .

   Пример 7. Найдем вероятность ничейного исхода матча в
примере 2, с. 99, если допустить возможность ничейного окончания
одной партии.
   Решение.       Пусть p — вероятность выигрыша одной партии
шахматистом A, для игрока B вероятность выигрыша также равна
p. Тогда вероятность ничьей в одной партии равна 1 − 2p. Матч
закончится вничью в следующих ситуациях (T — ничья, А — вы-
игрыш игрока А, В — выигрыш игрока В):
   Исход матча                   Вероятность                    При p = 1/3
                       6!            6 0 0
    6T, 0A, 0B      6! 0! 0! (1 − 2p) p p  = (1 − 2p)6              1/729
                       6!
       4T, 1A, 1B   4! 1! 1! (1   − 2p)4p1p1 = 30(1 − 2p)4p2       30/729
                       6!
       2T, 2A, 2B   2! 2! 2! (1   − 2p)2p2p2 = 90(1 − 2p)2p4       90/729
                       6!
       0T, 3A, 3B   0! 3! 3! (1   − 2p)0p3p3 = 20p6                20/729

                       1 − 12p + 90p2 − 400p3+                     47/243
               Σ
                       +1050p4 − 1512p5 + 924p6

     3. Применив схему Бернулли в примере 5, с. 101, мы неглас-
но предположили, что после ответа каждого студента билет для
следующего экзаменуемого формируется из всего списка вопросов.

Страницы