Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 105 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Время ожидания — геометрическая модель 105
Рассмотрите случай, когда вопросы в билетах не повторяются, и
докажите, что тогда искомая вероятность равна
30 · A
11
75
· A
4
25
· 3 · 3 · 3
A
15
100
=
48 081 899 110 283 847 768 960 000 000
331 284 225 412 682 501 619 179 520 000
≈ 0.145 .
Z 3 Обратите внимание на близость значений вероятностей, найденных в
биномиальной и урновой моделях.
Кстати, вероятности событий O
5
, O
4
, O
3
, O
2
также могут быть при-
ближенно вычислены с помощью биномиального распределения с чис-
лом испытаний n = 3 (три вопроса) и вероятностью успеха p = 0.75.
Например, P {O
4
} ≈ P
B
(2 |3, 0.75) = 0 .421875 .
Найдем вероятность того, что первый успех произойдет при
k -ом испытании Бернулли. Это возможно только, если первые k−
1 испытаний закончатся неудачей, а последнее k -ое — успехом:
(
k−1
z }| {
0, 0, . . . , 0 , 1). Вероятность такого события равна p(1 − p)
k−1
.
Случайное число ξ, равное количеству экспериментов в схеме
Бернулли, проведенных до появления первого успеха, называет-
ся геометрическим случайным числом, а набор вероятностей, с
которыми ξ принимает конкретные значения
P {ξ = k} = p(1 − p)
k−1
, k ∈ X =
1, 2, . . .
®
,
называется геометрическим распределением.
Происхождение названия этой модели объясняется, конечно,
геометрической прогрессией, образуемой ее вероятностями.
4. Докажите, что сумма всех вероятностей геометрической
модели
∞
P
k=1
P {ξ = k} = 1.
Случай ожидания S -ого успеха приводит к модели Паскаля.
                Время ожидания — геометрическая модель                          105


Рассмотрите случай, когда вопросы в билетах не повторяются, и
докажите, что тогда искомая вероятность равна
   30 · A11     4
         75 · A25 · 3 · 3 · 3    48 081 899 110 283 847 768 960 000 000
                              =                                         ≈ 0.145 .
             A15
               100              331 284 225 412 682 501 619 179 520 000
 Z 3 Обратите внимание на близость значений вероятностей, найденных в
     биномиальной и урновой моделях.
     Кстати, вероятности событий O5 , O4 , O3 , O2 также могут быть при-
     ближенно вычислены с помощью биномиального распределения с чис-
     лом испытаний n = 3 (три вопроса) и вероятностью успеха p = 0.75.
     Например, P {O4 } ≈ PB(2 | 3, 0.75) = 0.421875.

     Найдем вероятность того, что первый успех произойдет при
k -ом испытании Бернулли. Это возможно только, если первые k−
1 испытаний закончатся неудачей, а последнее k -ое — успехом:
  z k−1}| {
( 0, 0, . . . , 0 , 1). Вероятность такого события равна p(1 − p)k−1.

 Случайное число ξ, равное количеству экспериментов в схеме
 Бернулли, проведенных до появления первого успеха, называет-
 ся геометрическим случайным числом, а набор вероятностей, с
 которыми ξ принимает конкретные значения
                           k−1
                                          ­          ®
       P {ξ = k} = p(1 − p) ,     k ∈ X = 1, 2, . . . ,

 называется геометрическим распределением.

   Происхождение названия этой модели объясняется, конечно,
геометрической прогрессией, образуемой ее вероятностями.
    4. Докажите, что сумма всех вероятностей геометрической
модели
                    P∞
                       P {ξ = k} = 1.
                             k=1

   Случай ожидания S -ого успеха приводит к модели Паскаля.

Страницы