Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 106 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

106 Т е м а V. Схема Бернулли. Биномиальное распределение
Вероятностная модель Паскаля, описывающая время ожида-
ния S-ого успеха в последовательности испытаний Бернулли,
задается пространством исходов X =
S, S + 1, . . .
®
и вероят-
ностями исходов
p
k
= C
S−1
k−1
p
S
(1 − p)
k−S
, k > S . (∗)
5. Докажите формулу (∗). Покажите, что
∞
P
k=S
p
k
= 1.
Z 4 Если в модели Паскаля учитывать только неудачные эксперименты,
то получим так называемую обратную биномиальную модель:
p
k
= C
S−1
k+S−1
p
S
(1 − p)
k
, k > 0 .
Иногда геометрическое распределение также определяют при k > 0.
Пример 8. При проезде по мосту грузовики проходят весовой
контроль. Превышение норматива карается штрафом в 1 у.е. Ка-
кова вероятность того, что дальнобойщику Петру Тяглову удастся
благополучно проехать через 7 мостов, если он имеет всего 3 у.е.
для оплаты штрафов, а, по его опыту, в среднем на каждом чет-
вертом мосту весы могут показать превышение уровня загрузки?
Решение (модель Паскаля). Контроль на мосту есть испытание
в схеме Бернулли с вероятностью успеха p =
1
/
4
. Тогда Петр
проедет 7 мостов, если четвертый успех произойдет не ранее 8-го
испытания. Пусть ξ — время ожидания 4-го успеха (S = 4) , тогда
P {ξ > 8} = 1 − P {ξ 6 7} = 1 −
7
X
k=4
C
4−1
k−1
³
1
4
´
4
³
3
4
´
k−4
=
= 1 −
³
1
4
4
+ 4 ·
3
4
5
+ 10 ·
3
2
4
6
+ 20 ·
3
3
4
7
´
=
15228
16384
≈ 0 .929 .
Решение (биномиальная модель). Петр благополучно доедет до
цели, если при 7 испытаниях в схеме Бернулли успех произойдет
не более 3 раз, то есть искомая вероятность равна
P
B
³
6 3
¯
¯
7,
1
4
´
=
15228
16384
≈ 0 .929 .
 106          Тема    V. Схема Бернулли. Биномиальное распределение


  Вероятностная модель Паскаля, описывающая время ожида-
  ния S-ого успеха в последовательности испытаний Бернулли,
                                        ­           ®
  задается пространством исходов X = S, S + 1, . . . и вероят-
  ностями исходов
               pk = CS−1  S
                     k−1 p (1 − p)
                                  k−S
                                      , k >S.              (∗)

                                                                         P
                                                                         ∞
       5. Докажите формулу (∗). Покажите, что                                    pk = 1.
                                                                         k=S
 Z 4 Если в модели Паскаля учитывать только неудачные эксперименты,
     то получим так называемую обратную биномиальную модель:
                     pk = CS−1    S       k
                           k+S−1 p (1 − p) ,                    k > 0.
       Иногда геометрическое распределение также определяют при k > 0.

   Пример 8. При проезде по мосту грузовики проходят весовой
контроль. Превышение норматива карается штрафом в 1 у.е. Ка-
кова вероятность того, что дальнобойщику Петру Тяглову удастся
благополучно проехать через 7 мостов, если он имеет всего 3 у.е.
для оплаты штрафов, а, по его опыту, в среднем на каждом чет-
вертом мосту весы могут показать превышение уровня загрузки?
   Решение (модель Паскаля). Контроль на мосту есть испытание
в схеме Бернулли с вероятностью успеха p = 1/4 . Тогда Петр
проедет 7 мостов, если четвертый успех произойдет не ранее 8-го
испытания. Пусть ξ — время ожидания 4-го успеха (S = 4) , тогда
                                              7
                                              X                 ³ ´4 ³ ´k−4
                                                                 1           3
 P {ξ > 8} = 1 − P {ξ 6 7} = 1 −                       C4−1
                                                        k−1                          =
                                                                 4           4
                                              k=4
                     ³                                               ´
                         1          3             32            33           15228
              = 1−            +4·        + 10 ·        + 20 ·            =           ≈ 0.929 .
                         44         45            46            47           16384
    Решение (биномиальная модель). Петр благополучно доедет до
цели, если при 7 испытаниях в схеме Бернулли успех произойдет
не более 3 раз, то есть
                    ³ искомая   вероятность равна
                         ¯ 1´
                  PB 6 3 ¯ 7, 4 = 15228
                                   16384
                                         ≈ 0.929 .

Страницы