Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 107 стр.

           Предельные теоремы Пуассона и Муавра–Лапласа               107


    6. Докажите, что ∀ m > s > 0, p ∈ [0; 1]
           m
           X                              s−1
                                          X
      1−         Cs−1  s
                  k−1 p (1
                                k−s
                             − p)     =         Ckm pk (1 − p)m−k .
           k=s                            k=0


   Пример 9. (Задача Банаха о спичечных коробках.) Некий
математик носит с собой две коробки спичек; каждый раз, когда он
хочет достать спичку, он выбирает наугад одну из коробок. Найти
вероятность того, что когда будет вынута пустая коробка, в другой
окажется m спичек, m = 0, 1, . . . , N, где N — первоначальное
число спичек в каждой из коробок.
    Решение. Зафиксируем одну из коробок и будем считать успе-
хом, когда достается именно эта коробка. Вероятность успеха p =
1/2 . Если при очередном испытании наша коробка впервые ока-
залась пуста, это означает, что мы дождались ровно (N + 1) -го
успеха. Если при этом другая коробка содержит m спичек, зна-
чит спички брались всего (N + 1) + (N − m) = 2N − m + 1 раз.
Воспользовавшись моделью Паскаля (с s = N + 1, p = 1/2 и
k = 2N − m + 1 ), а также учитывая, что возможно два варианта
фиксации коробок, находим искомую вероятность:

                            CN       C N
                        2 · 2N2N −m
                               −m+1
                                       2N −m
                                    = 2N     .
                           2          2 −m

Предельные теоремы Пуассона и Муавра–Лапласа


                                          [1, с. 52, 78–83; 2, с. 57–80]

   Биномиальные вероятности можно вычислять приближенно,
используя следующие предельные теоремы, в которых речь идет
о распределении PB(m|n, p) для биномиального случайного числа.