Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 108 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

108 Т е м а V. Схема Бернулли. Биномиальное распределение
∗ ∗ ∗
Теорема Пуассона.
Если n → ∞ и p = p
n
→ 0 так, что np → λ (> 0), то ∀m > 0
P
B
(m | n, p) → P(m | λ) :=
λ
m
m!
e
−λ
.
∗ ∗ ∗
7. Проверьте, что сумма всех вероятностей
∞
P
m=0
P(m|λ) = 1.
Определим стандартную
vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv
нормальную функцию распределения
(читается
h
h
ФИ
i
i
или по-старорусски
h
h
ФЕРТ
i
i
)
Φ(x) =
x
Z
−∞
φ(t) dt , где φ(t) =
1
√
2π
e
−
t
2
/
2
.
∗ ∗ ∗
Теорема Муавра-Лапласа.
Пусть ξ v Bin(n, p) с фиксированным p ∈ (0; 1). Положим
µ := np, σ :=
p
n p (1 − p), тогда при n → ∞
(I) (
−−−−−−−−−−
локальный вариант) для любого m > 0
P
B
(m | n, p) ³
1
σ
φ
µ
m − µ
σ
;
(II) (
−−−−−−−−−−−
интегральный вариант) для любых a < b
P
½
a 6
ξ − µ
σ
< b
¾
→ Φ(b) − Φ(a) .
∗ ∗ ∗
Z 5 Пуассоновское приближение биномиального распределения использу-
ют обычно в тех случаях, когда p < 0.1 и np < 10;
в случае, когда np > 10, используют нормальное приближение.
108            Тема    V. Схема Бернулли. Биномиальное распределение




   Теорема Пуассона.      ∗∗∗
Если n → ∞ и p = pn → 0 так, что np → λ (> 0), то ∀m > 0
                                          λm −λ
              PB(m | n, p) → P(m | λ) :=     e .
                                          m!
                             ∗∗∗
                                                P∞
      7. Проверьте, что сумма всех вероятностей    P(m|λ) = 1.
                                                            m=0

   Определим стандартную нормальную функцию распределения
                            vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv
(читается h ФИ i или по-старорусски h ФЕРТ i)
           h     i                           h        i




                      Zx
                                                     1 − t2/2
         Φ(x) =            φ(t) dt ,     где φ(t) = √   e     .
                                                     2π
                     −∞


                                       ∗∗∗
    Теорема Муавра-Лапласа.
Пусть ξ v Bin(n, p)
                 p с фиксированным p ∈ (0; 1). Положим
    µ := np, σ := n p (1 − p),   тогда при n → ∞
(I) (локальный вариант) для любого m > 0
     −−−−−−−−−−
                                   µ      ¶
                               1     m−µ
                 PB(m | n, p) ³ φ           ;
                               σ       σ
(II) (интегральный вариант) для любых a < b
      −−−−−−−−−−−
               ½              ¾
                     ξ−µ
              P a6         10, используют нормальное приближение.

Страницы