Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 109 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Предельные теоремы Пуассона и Муавра–Лапласа 109
Z 6 Для повышения точности аппроксимации интегральной теоремы
Муавра–Лапласа при отыскании вероятности попадания в замкнутый
отрезок {a 6 ξ 6 b} в качестве верхней границы следует выбирать
значение b + 0.5.
Для событий вида {ξ < b} левую границу лучше выбрать равной
a = −∞.
8. Докажите справедливость свойств функции Φ :
i) lim
x→−∞
Φ(x) = 0, lim
x→+∞
Φ(x) = 1;
ii) Φ(−x) = 1 − Φ(x);
iii) Φ(0) =
1
2
.
9. В некоторых научных кругах вместо функции Φ принято
использовать функции
b
Φ(x) =
1
√
2π
x
Z
0
e
−
1
2
t
2
dt и Erf(x) =
2
√
π
x
Z
0
e
−t
2
dt.
Приведите свойства этих функций и найдите их связь с функ-
цией Φ.
Пример 10. Производители заклепок для крепления об-
шивки самолета гарантируют, что в среднем только одна заклепка
из 1000 не выдержит экстремальных нагрузок и лопнет. Какова
вероятность того, что из 10 000 использованных при постройке са-
молета заклепок ровно 7 выйдут из строя? Чему равна вероятность
того, что таких заклепок будет не больше 7?
Решение. Точные значения вероятностей мы можем найти с
помощью биномиального распределения (n = 10 000, p = 0.001) :
P
B
(7 | n, p) = 0.0900702, P
B
(6 7 | n, p) = 0.220086.
              Предельные теоремы Пуассона и Муавра–Лапласа                    109




 Z 6 Для повышения точности аппроксимации интегральной теоремы
     Муавра–Лапласа при отыскании вероятности попадания в замкнутый
     отрезок {a 6 ξ 6 b} в качестве верхней границы следует выбирать
     значение b + 0.5.
     Для событий вида {ξ < b} левую границу лучше выбрать равной
     a = −∞.


     8. Докажите справедливость свойств функции Φ :
      i)     lim Φ(x) = 0, lim Φ(x) = 1;
            x→−∞                  x→+∞
      ii)   Φ(−x) = 1 − Φ(x);
     iii)   Φ(0) = 12 .

    9. В некоторых научных кругах вместо функции Φ принято
использовать функции
                          Zx                                   Zx
       b      1                   1 2                     2            2
       Φ(x) =√                 e− 2 t dt   и    Erf(x) = √          e−t dt.
              2π                                           π
                          0                                    0

     Приведите свойства этих функций и найдите их связь с функ-
цией Φ.

   Пример 10.        Производители заклепок для крепления об-
шивки самолета гарантируют, что в среднем только одна заклепка
из 1000 не выдержит экстремальных нагрузок и лопнет. Какова
вероятность того, что из 10 000 использованных при постройке са-
молета заклепок ровно 7 выйдут из строя? Чему равна вероятность
того, что таких заклепок будет не больше 7?
   Решение. Точные значения вероятностей мы можем найти с
помощью биномиального распределения (n = 10 000, p = 0.001) :

       PB(7 | n, p) = 0.0900702,               PB(6 7 | n, p) = 0.220086.

Страницы