Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 110 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

110 Т е м а V. Схема Бернулли. Биномиальное распределение
Найдем приближенные значения этих вероятностей с помощью
теорем Пуассона и Муавра-Лапласа. Имеем
n = 10 000, p =
1
1000
, np = 10.
Если воспользоваться пуассоновской аппроксимацией, то по таб-
лице распределения Пуассона (табл. 3, с. 222) с λ = 10 и m = 7
находим
P
B
(7 | n, p) ≈ P(7 | 10) = 0.09008 .
Для вычисления вероятности P {ξ 6 7} нужно просто сложить
все значения в столбце пуассоновского распределения от 0 до 7:
P {ξ 6 7} ≈
7
X
m=0
P(m | 10) = 0.22022 .
При нормальной аппроксимации необходимо сначала найти
µ = 10 000 · 0.001 = 10
σ =
√
10 · 0.999 ≈ 3.1607
¾
и X =
m − µ
σ
=
7 − 10
3.1607
≈ −0.949.
Локальная теорема Муавра-Лапласа дает (табл. 2, с. 221)
P
B
(7 | 10 000,
1
1000
) ≈
1
3.1607
φ(0.949) ≈
0.2542
3.1607
≈ 0.08043 .
Для приближенного вычисления вероятности P {ξ 6 7} пред-
ставим событие {ξ 6 7} (в соответствии с предыдущим замечани-
ем) в виде
−∞ <
ξ − µ
σ
<
7.5 − µ
σ
.
Таким образом, правая граница интервала
b =
7.5 − 10
3.1607
≈ −0.791 .
По таблице 1 с. 220, применив простую линейную интерполяцию
между значениями x = 0.79 и x = 0.8, а также учитывая отрица-
тельность b, находим
P {ξ 6 7} ≈ Φ(b) − Φ(−∞) =
£
1 − Φ( |b|)
¤
− 0 = 0.21448 .
 110         Тема       V. Схема Бернулли. Биномиальное распределение


   Найдем приближенные значения этих вероятностей с помощью
теорем Пуассона и Муавра-Лапласа. Имеем
                                            1
                    n = 10 000,      p=        ,   np = 10.
                                          1000
Если воспользоваться пуассоновской аппроксимацией, то по таб-
лице распределения Пуассона (табл. 3, с. 222) с λ = 10 и m = 7
находим
               PB(7 | n, p) ≈ P(7 | 10) = 0.09008 .
Для вычисления вероятности P {ξ 6 7} нужно просто сложить
все значения в столбце пуассоновского распределения от 0 до 7:
                                  7
                                  X
               P {ξ 6 7} ≈              P(m | 10) = 0.22022 .
                                  m=0

   При нормальной аппроксимации необходимо сначала найти
                          ¾
  µ = 10 000 · 0.001 = 10
      √                                    7 − 10
                            и X = m σ− µ = 3.1607 ≈ −0.949.
  σ = 10 · 0.999 ≈ 3.1607
Локальная теорема Муавра-Лапласа дает (табл. 2, с. 221)
                    1              1                   0.2542
  PB(7 | 10 000,        )   ≈          φ(0.949)    ≈            ≈ 0.08043 .
                   1000         3.1607                 3.1607
   Для приближенного вычисления вероятности P {ξ 6 7} пред-
ставим событие {ξ 6 7} (в соответствии с предыдущим замечани-
ем) в виде
                            ξ − µ 7.5 − µ
                     −∞ <         <          .
                              σ       σ
Таким образом, правая граница интервала
                         7.5 − 10
                     b=           ≈ −0.791 .
                          3.1607
По таблице 1 с. 220, применив простую линейную интерполяцию
между значениями x = 0.79 и x = 0.8, а также учитывая отрица-
тельность b, находим
                                  £            ¤
   P {ξ 6 7} ≈ Φ(b) − Φ(−∞) = 1 − Φ( |b| ) − 0 = 0.21448 .

Страницы