Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 150 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

150 Т е м а VI. Распределения случайных величин
Случайный вектор абсолютно непрерывного типа задается
функцией плотности f(x, y) > 0, для которой выполняется ра-
венство
F (x, y) =
x
Z
−∞
du
y
Z
−∞
dv f(u, v).
X Функция плотности почти всюду равна производной ф.р.
f(x, y) =
∂
2
∂x ∂y
F (x, y).
X Вероятность события вида (ξ, η) ∈ D, D ⊂ R
2
, равна
P {(ξ, η) ∈ D} =
ZZ
D∩X
f(x, y) dx dy =
ZZ
D
I
X
(x, y)f(x, y) dx dy ,
где X = h(x, y) : f(x, y) > 0 i — носитель (ξ, η).
∗ ∗ ∗
Теорема .
Если вектор (ξ, η) абсолютно непрерывен с носителем X, то каж-
дая его компонента также абсолютно непрерывна и частные плот-
ности компонент можно найти проинтегрировав совместную плот-
ность:
f
ξ
(x) =
Z
Y
x
f(x, y) dy, f
η
(y) =
Z
X
y
f(x, y) dx,
где Y
x
= hy ∈ R
1
: (x, y) ∈ X i, X
y
= hx ∈ R
1
: (x, y) ∈ X i.
∗ ∗ ∗
Z 6 Область Y
x
состоит из точек y, для которых вектор (x, y) при
выбранном x принадлежит носителю (может зависеть от x); для ее
построения нужно найти пересечение линии, выходящей из точки x
перпендикулярно оси OX, с носителем X вектора (ξ, η).
 150                Тема    VI. Распределения случайных величин


   Случайный вектор абсолютно непрерывного типа задается
функцией плотности f (x, y) > 0, для которой выполняется ра-
венство
                           Zx    Zy
                F (x, y) =    du    dv f (u, v).
                                 −∞     −∞

X       Функция плотности почти всюду равна производной ф.р.
                                        ∂2
                            f (x, y) =       F (x, y).
                                       ∂x ∂y

X       Вероятность события вида (ξ, η) ∈ D, D ⊂ R 2, равна
                        ZZ                  ZZ
       P {(ξ, η) ∈ D} =    f (x, y) dx dy =    IX (x, y)f (x, y) dx dy ,
                          D∩X                     D

       где X = h (x, y) : f (x, y) > 0 i — носитель (ξ, η).


   Теорема .                    ∗∗∗
Если вектор (ξ, η) абсолютно непрерывен с носителем X , то каж-
дая его компонента также абсолютно непрерывна и частные плот-
ности компонент можно найти проинтегрировав совместную плот-
ность:
                  Z                         Z
          fξ (x) = f (x, y) dy,     fη (y) = f (x, y) dx,
                     Yx                               Xy

где Yx = h y ∈ R 1 : (x, y) ∈ X i, Xy = h x ∈ R 1 : (x, y) ∈ X i.
                                 ∗∗∗
 Z 6 Область Yx состоит из точек y, для которых вектор (x, y) при
     выбранном x принадлежит носителю (может зависеть от x); для ее
     построения нужно найти пересечение линии, выходящей из точки x
     перпендикулярно оси OX, с носителем X вектора (ξ, η).

Страницы