Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 152 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

152 Т е м а VI. Распределения случайных величин
Пусть теперь область X есть квадрат
[0; 1]
2
. Зафиксируем точку x = x
0
. Линия
x = x
0
на плоскости пересекает носитель X
только при 0 6 x
0
6 1, при этом проекция
Y
x
0
области пересечения на ось OY всегда
-
x
y
6
0 1
1
x
0
совпадает с отрезком [0; 1]. Поэтому частная плотность ξ равна
f
ξ
(x
0
) =
∞
Z
−∞
f(x
0
, y) dy =
1
Z
0
dy = 1 , ∀x
0
∈ [0; 1].
В остальных точках плотность равна нулю. Аналогично находится
пл.в. η. Таким образом, каждая компонента случайного вектора
(ξ, η) v U([0; 1]
2
) распределена равномерно на отрезке [0; 1] и про-
изведение их плотностей f
ξ
(x)f
η
(y) = f(x, y), то есть компоненты
ξ и η независимы.
∗ ∗ ∗
Теорема (о свертке).
(I) Если с.в. ξ и η независимы и имеют пл.в. f
ξ
и f
η
с носителями
X
ξ
, X
η
, то распределение суммы ζ = ξ + η абсолютно непрерывно
с плотностью
f
ζ
(z) =
∞
Z
−∞
f
ξ
(x)f
η
(z −x) dx =
∞
Z
−∞
f
ξ
(x)f
η
(z −x) I
X
ξ
(x)I
X
η
(z −x) dx .
(II) Если дискретные с.в. ξ и η независимы и их носители суть
(конечные или счетные) совокупности множеств
X
ξ
= hx
i
i
N
1
1
, N
1
6 ∞, X
η
= hy
j
i
N
2
1
, N
2
6 ∞;
то сумма ζ = ξ + η также имеет дискретный тип распределения,
• ее носитель X
ζ
= hx
k
+ y
j
, 1 6 k 6 N
1
, 1 6 j 6 N
2
i;
• P {ζ = z} =
N
1
P
k=1
P {ξ = x
k
}P {η = z − x
k
}, ∀z ∈ X
ζ
.
∗ ∗ ∗
 152               Тема     VI. Распределения случайных величин


      Пусть теперь область X есть квадрат                         y
                                                                  6
[0; 1]2. Зафиксируем точку x = x0. Линия                      1
x = x0 на плоскости пересекает носитель X
только при 0 6 x0 6 1, при этом проекция                                     -x
                                                                  0   x0 1
Yx0 области пересечения на ось OY всегда
совпадает с отрезком [0; 1]. Поэтому частная плотность ξ равна
                  Z∞                Z1
        fξ (x0) =    f (x0, y) dy =    dy = 1 , ∀x0 ∈ [0; 1].
                    −∞                  0
В остальных точках плотность равна нулю. Аналогично находится
пл.в. η. Таким образом, каждая компонента случайного вектора
(ξ, η) v U([0; 1]2) распределена равномерно на отрезке [0; 1] и про-
изведение их плотностей fξ (x)fη (y) = f (x, y), то есть компоненты
ξ и η независимы.

     Теорема (о свертке).          ∗∗∗
(I) Если с.в. ξ и η независимы и имеют пл.в. fξ и fη с носителями
Xξ , Xη , то распределение суммы ζ = ξ + η абсолютно непрерывно
с плотностью
          Z∞                       Z∞
fζ (z) =     fξ (x)fη (z − x) dx =    fξ (x)fη (z − x) IXξ (x)IXη (z − x) dx .
        −∞                         −∞
(II) Если дискретные с.в. ξ и η независимы и их носители суть
(конечные или счетные) совокупности множеств
          Xξ = hxiiN
                   1 , N1 6 ∞,
                     1
                                            Xη = hyj iN
                                                      1 , N2 6 ∞;
                                                        2


то сумма ζ = ξ + η также имеет дискретный тип распределения,
  • ее носитель Xζ = hxk + yj , 1 6 k 6 N1, 1 6 j 6 N2i ;
                    P
                    N1
  • P {ζ = z} =          P {ξ = xk } P {η = z − xk },      ∀z ∈ Xζ .
                   k=1
                                    ∗∗∗

Страницы