Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 154 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

154 Т е м а VI. Распределения случайных величин
Пример 11. При построении свертки необходимо начинать с
анализа носителей с.в. Найдем, например, свертку двух равномер-
ных на [0; 1] распределений.
Решение. Плотность вероятностей равномерного распределе-
ния отлична от нуля, только если ее аргумент попадает в отрезок
[0; 1]. Поэтому при вычислении свертки область интегрирования
сузится до области, описываемой системой двух неравенств (отно-
сительно переменной x )
(
I
X
ξ
(x) 6= 0 ,
I
X
η
(z − x) 6= 0 ,
⇔
(
0 6 x 6 1 ,
0 6 z − x 6 1 ,
⇔
(
0 6 x 6 1 ,
z − 1 6 x 6 z .
Ясно, что эта система имеет непустое пересечение, если либо
0 6 z 6 1 ⇒ f
ζ
(z) =
Z
z
0
dx = z,
либо
1 6 z 6 2 ⇒ f
ζ
(z) =
Z
1
z−1
dx = 2 − z .
В остальных случаях пл.в. f
ζ
(z) = 0. Подобная функция нам уже
встречалась — это пл.в. треугольного распределения.
Пример 12. Рассмотрим теперь пример построения свертки
двух дискретных распределений. Пусть ξ, η v Geo(p).
Решение. Носители с.в. ξ, η суть совокупности всех на-
туральных чисел ( > 1 ). Поэтому, во-первых, носитель их сум-
мы X
ζ
= h2, 3, . . .i. Во-вторых, для любого z > 2 вероятность
P {η = z − k} будет больше нуля только при z − k > 1, то есть
при k 6 z − 1. Следовательно,
154                     Тема   VI. Распределения случайных величин




   Пример 11. При построении свертки необходимо начинать с
анализа носителей с.в. Найдем, например, свертку двух равномер-
ных на [0; 1] распределений.
     Решение. Плотность вероятностей равномерного распределе-
ния отлична от нуля, только если ее аргумент попадает в отрезок
[0; 1]. Поэтому при вычислении свертки область интегрирования
сузится до области, описываемой системой двух неравенств (отно-
сительно переменной x )
  (                             (                            (
       IXξ (x) 6= 0 ,               0 6 x 6 1,                    0 6 x 6 1,
                            ⇔                         ⇔
       IXη (z − x) 6= 0 ,           0 6 z − x 6 1,                z−1 6 x 6 z.

      Ясно, что эта система имеет непустое пересечение, если либо
                                                         Z    z
                06z61               ⇒         fζ (z) =            dx = z,
                                                          0
либо                                                     Z    1
                16z62               ⇒         fζ (z) =            dx = 2 − z .
                                                          z−1


В остальных случаях пл.в. fζ (z) = 0. Подобная функция нам уже
встречалась — это пл.в. треугольного распределения.

   Пример 12. Рассмотрим теперь пример построения свертки
двух дискретных распределений. Пусть ξ, η v Geo(p).

   Решение. Носители с.в. ξ, η суть совокупности всех на-
туральных чисел ( > 1 ). Поэтому, во-первых, носитель их сум-
мы Xζ = h2, 3, . . .i . Во-вторых, для любого z > 2 вероятность
P {η = z − k} будет больше нуля только при z − k > 1, то есть
при k 6 z − 1. Следовательно,

Страницы