Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 153 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Свертка 153
Пример 10. Докажем первое утверждение этой теоремы.
Решение. Действуем по выработанной схеме (см. с. 144).
• Функция плотности случайного вектора (ξ, η) : f
ξ
(x)f
η
(y).
• Функция распределения ζ :
F
ζ
(t) = P {ζ < t} =
ZZ
x+y<t
f
ξ
(x)f
η
(y) dx dy.
• Расставляем пределы интегрирования:
F
ζ
(t) =
∞
Z
−∞
dx
t−x
Z
−∞
f
ξ
(x)f
η
(y) dy.
-
6
x
y
y = t − x
@
@
@
@
@
@
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
• Во внутреннем интеграле (по dy ) произведем замену перемен-
ных y = z−x, после чего переставим порядок интегрирования:
F
ζ
(t) =
∞
Z
−∞
dx
t
Z
−∞
f
ξ
(x)f
η
(z−x) dz =
t
Z
−∞
dz
∞
Z
−∞
f
ξ
(x)f
η
(z −x) dx
| {z }
f
ζ
(z)
.
• Таким образом, нам удалось представить ф.р. F
ζ
в виде инте-
грала от функции f
ζ
(z), что и требовалось доказать.
Распределение суммы двух независимых с.в. называется
сверткой распределений и обозначается f
ξ
◦ f
η
(z).
17. Докажите формулу свертки для дискретных с.в.
18. Найдите распределение суммы двух независимых с.в., од-
на из которых имеет равномерное распределение на [0; 1], а вто-
рая — дискретная с.в. с классическим распределением на двухто-
чечном носителе
0, 1
®
.
Подсказка. Воспользуйтесь формулой полной вероятности.
                                    Свертка                                        153


   Пример 10.            Докажем первое утверждение этой теоремы.
   Решение. Действуем по выработанной схеме (см. с. 144).
 • Функция плотности случайного вектора (ξ, η) : fξ (x)fη (y).
 • Функция распределения ζ :
                                 ZZ
            Fζ (t) = P {ζ < t} =    fξ (x)fη (y) dx dy.
                                          x+y

Страницы