Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 155 стр.

                                 Свертка                                  155

                 ∞
                 X
 P {ζ = z} =           P {ξ = k} P {η = z − k} =
                 k=1
                 z−1
                 X                                      z−1
                                                        X
             =         p(1 − p)6 k−1p(1 − p)z−6 k−1 =         p2(1 − p)z−2 =
                 k=1                                  k=1
                            2       z−2        2−1 2
             = (z − 1) p (1 − p)          =   Cz−1 p (1 −     p)z−2,

что совпадает с распределением Паскаля — распределением време-
ни ожидания второго успеха. Удивительный результат. Оказывает-
ся, если подождать первого успеха, а потом дождаться еще одного
успеха, то можно надеяться, что за это время произойдет ровно
            ¡ ¢
два успеха Äo^
             ¸o .

    19. Чему равна свертка двух паскалевских с.в. с одинаковыми
вероятностями успеха?


   Еще одно замечание.
 Z 8 Большинство встречающихся на практике с.в. имеют распределение
     одного из рассмотренных нами типов — дискретного или абсолютно
     непрерывного. Задача 20 iii в этом разделе и задача 64, с. 191 дают
     два примера распределений ,,составного‘‘ типа, когда в счетном чис-
     ле точек ф.р. изменяется скачкообразно, а в промежутке между скач-
     ками — абсолютно непрерывна. Вообще (в соответствии с теоремой
     Лебега), любая ф.р. может быть представлена как выпуклая ком-
     бинация трех функций, одна из которых дискретного типа, другая
     — абсолютно непрерывного, а третья — сингулярного типа. Послед-
     няя всюду непрерывна, но почти нигде (по мере Лебега) не растет.
     (Попробуйте как-нибудь на досуге изобразить график функции, ко-
     торая непрерывна, не убывает, изменяется от 0 до 1, но почти нигде
     не возрастает.) ,,Классическим‘‘ примером такой функции является
     лестница Кантора (см., например, [2, с. 171]).