Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 148 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

148 Т е м а VI. Распределения случайных величин
∗ ∗ ∗
Теорема .
Любая вещественная функция F (x, y), удовлетворяющая услови-
ям Fn1), Fn2), Fn3) , для которой при любых x
1
6 x
2
, y
1
6 y
2
правая часть Fn4) неотрицательна, является ф.р. некоторого слу-
чайного вектора.
∗ ∗ ∗
С.в. ξ и η называются независимыми, если для любых событий
(борелевских подмножеств) A, B ⊂R
1
совместная вероятность
P {ξ ∈ A, η ∈ B} = P {ξ ∈ A}P {η ∈ B}.
∗ ∗ ∗
Теорема .
Случайные величины ξ и η независимы тогда и только тогда,
когда их совместная ф.р. F (x, y) представима в виде произведения
частных ф.р.:
F (x, y) = F
ξ
(x)F
η
(y), ∀x, y ∈ R
1
.
∗ ∗ ∗
16. Часто утверждение этой теоремы кладется в основу опре-
деления независимости с.в. Проверьте, какое определение удоб-
нее при доказательстве того, что любые (измеримые) функции
h(ξ), g(η) от независимых с.в. ξ, η снова независимы?
Дискретный случайный вектор (ξ, η) задается набором веро-
ятностей
p
ij
= P {ξ = x
j
, η = y
i
} > 0, (x
j
, y
i
) ∈ X,
X
i,j
p
ij
= 1.
 148            Тема    VI. Распределения случайных величин



                            ∗∗∗
   Теорема .
Любая вещественная функция F (x, y), удовлетворяющая услови-
ям Fn1), Fn2), Fn3) , для которой при любых x1 6 x2, y1 6 y2
правая часть Fn4) неотрицательна, является ф.р. некоторого слу-
чайного вектора.
                            ∗∗∗


  С.в. ξ и η называются независимыми, если для любых событий
  (борелевских подмножеств) A, B ⊂ R 1 совместная вероятность
           P {ξ ∈ A, η ∈ B} = P {ξ ∈ A} P {η ∈ B} .


                               ∗∗∗
   Теорема .
Случайные величины ξ и η независимы тогда и только тогда,
когда их совместная ф.р. F (x, y) представима в виде произведения
частных ф.р.:
               F (x, y) = Fξ (x)Fη (y),   ∀x, y ∈ R 1 .
                                ∗∗∗


    16. Часто утверждение этой теоремы кладется в основу опре-
деления независимости с.в. Проверьте, какое определение удоб-
нее при доказательстве того, что любые (измеримые) функции
h(ξ), g(η) от независимых с.в. ξ, η снова независимы?

   Дискретный случайный вектор (ξ, η) задается набором веро-
ятностей
                                                   X
    pij = P {ξ = xj , η = yi} > 0, (xj , yi) ∈ X ,   pij = 1.
                                                          i,j

Страницы