Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 147 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Многомерные случайные величины 147
10. Для каждой из моделей проверьте свойства (∗) и
¡
∗
∗
¢
.
11. Найдите ф.р. распределения U[A; B] и нарисуйте ее гра-
фик.
12. Найдите ф.р. экспоненциальной модели, моделей Лапласа
и Коши.
13. Докажите, что если с.в. ξ v L(λ), то с.в. |ξ| v E(λ).
14. Найдите линейные преобразования (см. задачу 8), приво-
дящие каждое абсолютно непрерывное распределение к стандарт-
ному виду ( U[0; 1], E(1), L(1), G(p, 1), C(0, 1), N(0, 1) ).
Многомерные случайные величины
Измеримое отображение вероятностного пространства (Ω, F, P)
в k -мерное пространство (R
k
, B(R
k
)), называется k -мерной
случайной величиной (или случайным вектором). Мы ограничим-
ся рассмотрением двумерных случайных векторов (ξ, η).
Функция распределения двумерного случайного вектора (ξ, η) :
F (x, y) = P {ξ < x, η < y}.
Ф.р. F
ξ
(x), F
η
(y) компонент случайного вектора называются
маргинальными или частными функциями распределения.
15. Докажите справедливость основных свойств ф.р. F (x, y) :
Fn1 ) F (x, y) непрерывна слева по каждой переменной;
Fn2 ) F (x, y) не убывает по каждой переменной;
Fn3 ) lim
x→−∞
F (x, y) = 0 (∀y) , lim
y→−∞
F (x, y) = 0 (∀x),
lim
x,y→+∞
F (x, y) = 1 ;
Fn4 ) P {x
1
6 ξ < x
2
, y
1
6 η < y
2
} =
= F (x
2
, y
2
) −F(x
2
, y
1
) −F(x
1
, y
2
) + F(x
1
, y
1
).
Fn5 ) F
ξ
(x) = lim
y→+∞
F (x, y), F
η
(y) = lim
x→+∞
F (x, y).
                 Многомерные случайные величины                         147

                                                                  ¡∗¢
   10. Для каждой из моделей проверьте свойства (∗) и ∗ .
   11. Найдите ф.р. распределения U[A; B] и нарисуйте ее гра-
фик.
   12. Найдите ф.р. экспоненциальной модели, моделей Лапласа
и Коши.
   13. Докажите, что если с.в. ξ v L(λ), то с.в. |ξ| v E(λ).
   14. Найдите линейные преобразования (см. задачу 8), приво-
дящие каждое абсолютно непрерывное распределение к стандарт-
ному виду ( U[0; 1], E(1), L(1), G(p, 1), C(0, 1), N(0, 1) ).

Многомерные случайные величины

  Измеримое отображение вероятностного пространства (Ω, F, P)
в k -мерное пространство (R k , B(R k )), называется k -мерной
случайной величиной (или случайным вектором). Мы ограничим-
ся рассмотрением двумерных случайных векторов (ξ, η).
 Функция распределения двумерного случайного вектора (ξ, η) :
                     F (x, y) = P {ξ < x, η < y} .
 Ф.р. Fξ (x), Fη (y) компонент случайного вектора называются
 маргинальными или частными функциями распределения.

   15. Докажите справедливость основных свойств ф.р. F (x, y) :
Fn1 ) F (x, y) непрерывна слева по каждой переменной;
Fn2 ) F (x, y) не убывает по каждой переменной;
Fn3 ) lim F (x, y) = 0 (∀y),      lim F (x, y) = 0 (∀x),
      x→−∞                            y→−∞
                 lim F (x, y) = 1 ;
               x,y→+∞
Fn4 ) P {x1 6 ξ < x2, y1 6 η < y2} =
           = F (x2, y2) − F (x2, y1) − F (x1, y2) + F (x1, y1).
Fn5 ) Fξ (x) = lim F (x, y),       Fη (y) = lim F (x, y).
               y→+∞                          x→+∞

Страницы