Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 145 стр.

                Преобразования случайных величин             145


     7. Говорят, что с.в. ξ имеет симметричное распределение,
если ее распределение совпадает с распределением с.в. −ξ :
                   Fξ (x) = F−ξ (x), ∀x ∈ R 1.
   (a) Докажите, что для абсолютно непрерывных с.в. симмет-
ричность эквивалентна четности функции плотности:
                 ξ v −ξ    ⇔     fξ (−x) = fξ (x).
    (b) Как можно вычислить значение ф.р. такой с.в. в отрица-
тельной точке?
    (c) Чему равно значение F (0), если ф.р. F непрерывна в ну-
ле? Будет ли справедлив этот результат, если ф.р. F терпит в
нуле разрыв?
    (d) Как можно определить понятие симметричности с.в. отно-
сительно произвольной точки a 6= 0?

    8. Функция распределения и плотность вероятностей слу-
чайной величины ξ равны Fξ (x) и fξ (x) соответственно. Дока-
жите, что ф.р. и пл.в. случайной величины η = kξ + b, где k > 0
и b — константы, равны
                      ³     ´                   ³     ´
                        y−b                1      y−b
          Fη (y) = Fξ    k
                              ,   fη (y) = k fξ    k
                                                        .

     9. Как будут выглядеть ф.р. и пл.в. в предыдущей задаче,
если k < 0?

   На следующей странице приведена таблица наиболее часто
встречающихся моделей распределений.
   Названия моделей :
U – равномерное (классическое), Bin – биномиальное, Geo – геомет-
рическое, Pasc – Паскаля, P – Пуассона, Gg – гипергеометрическое,
U – равномерное (на отрезке), E – экспоненциальное, L – Лапласа,
G – гамма, B – бета, C – Коши, N – нормальное (Гаусса).