Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 144 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

144 Т е м а VI. Распределения случайных величин
• Начнем с записи ф.р. η : F
η
(y) = P {η < y} = P
©
ξ
2
< y
ª
.
• Решим неравенство ξ
2
< y относительно с.в. ξ :
(ξ
2
< y) ⇔
(
∅, если y 6 0,
−
√
y < ξ <
√
y , если y > 0.
• Запишем вероятность (в непустом случае) через ф.р. с.в. ξ :
F
η
(y) = F (
√
y ) − F (−
√
y + 0 ) =
=
³
1
2
+
1
π
arctg(
√
y )
´
−
³
1
2
+
1
π
arctg(−
√
y )
´
=
=
2
π
arctg(
√
y ) .
• Приводим окончательный вид ф.р. с.в. η :
F
η
(y) =
(
0 , если y 6 0,
2
π
arctg(
√
y ) , если y > 0.
Для контроля рекомендуется проверить все свойства ф.р.
• Эта функция всюду непрерывна и почти всюду (кроме точки
y = 0) дифференцируема:
(F
η
(y))
0
=
0 , если y < 0,
1
π
1
√
y(1 + y)
, если y > 0.
После недолгих раздумий о возможности обратного восста-
новления функции F
η
через ее производную, заключаем, что
функция f
η
(y) = (F
η
(y))
0
и есть искомая функция плотности.
В точке y = 0 удобнее положить f
η
(y) = 0.
5.
>
(a) Докажите теорему о монотонных преобразованиях с.в.
(b) Переформулируйте теорему для случая убывающей
функции h.
6. Найдите распределение с.в. η =
1
/
ξ
в условиях при-
мера 5, с. 140.
144               Тема   VI. Распределения случайных величин

                                                               ©   2
                                                                       ª
 • Начнем с записи ф.р. η :         Fη (y) = P {η < y} = P ξ < y .
 • Решим неравенство ξ 2 < y относительно с.в. ξ :
                        (
                                 ∅,        если y 6 0,
        (ξ 2 < y) ⇔         √         √
                           − y < ξ < y , если y > 0.

 • Запишем вероятность (в непустом случае) через ф.р. с.в. ξ :
                 √            √
     Fη (y) = F ( y ) − F (− y + 0 ) =
              ³               √ ´ ³1              √ ´
                1     1                  1
            =      + arctg( y ) −       + arctg(− y ) =
                2    π                2  π
              2         √
            =    arctg( y ) .
              π
 • Приводим окончательный вид ф.р. с.в. η :
                      (
                             0,        если y 6 0,
             Fη (y) =   2       √
                        π arctg( y ) , если y > 0.
      Для контроля рекомендуется проверить все свойства ф.р.
 • Эта функция всюду непрерывна и почти всюду (кроме точки
   y = 0) дифференцируема:
                        
                            0,        если y < 0,
                     0
             (Fη (y)) =
                         1 √ 1
                          π y(1 + y) , если y > 0.
      После недолгих раздумий о возможности обратного восста-
      новления функции Fη через ее производную, заключаем, что
      функция fη (y) = (Fη (y))0 и есть искомая функция плотности.
      В точке y = 0 удобнее положить fη (y) = 0.
    5.> (a) Докажите теорему о монотонных преобразованиях с.в.
        (b) Переформулируйте теорему для случая убывающей
функции h.

    6. Найдите распределение с.в. η = 1/ξ в условиях при-
мера 5, с. 140.

Страницы