Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 142 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

142 Т е м а VI. Распределения случайных величин
(i) если t 6 0, то область A
t
пуста и F (t) = 0;
(ii) если t > 2, то область A
t
совпадает с носителем [0; 2],
поэтому F (t) = 1;
(iii) если 0 6 t 6 1, то область A
t
= [0; t] а пл.в. в этой области
f(x) = x, поэтому
F (t) =
Z
t
0
x dx =
t
2
2
;
(iv) поскольку пл.в. f(x) = 2 − x для всех 1 6 x 6 2, то при
1 6 t 6 2
F (t) =
Z
1
0
x dx +
Z
t
1
(2 − x) dt =
1
2
+
1
2
−
(2 − t)
2
2
.
Таким образом, ф.р. ξ равна
F (x) =
0, если x 6 0,
x
2
2
, если 0 6 x 6 1,
1 −
(2 − x)
2
2
, если 1 6 x 6 2,
1, если x > 2.
-
x
F
6
1
0 1 2
в) В соответствии с формулами задачи 2, с. 136,
P {−1 6 ξ 6 1} = F (1) − F (−1) =
1
2
− 0 =
1
2
.
г) Вообще говоря, квадратическая функция не является мо-
нотонной, однако в нашем случае на носителе X = [0; 2] распре-
деления ξ функция h(x) = x
2
строго возрастает. Обратная к ней
функция
ˆ
h(y) =
√
y, а ее производная
ˆ
h
0
(y) =
1
(2
√
y)
.
Раскрыв модуль в выражении для пл.в. f
ξ
окончательно полу-
чаем:
 142                      Тема     VI. Распределения случайных величин


    (i) если t 6 0, то область At пуста и F (t) = 0;
    (ii) если t > 2, то область At совпадает с носителем [0; 2],
поэтому F (t) = 1;
    (iii) если 0 6 t 6 1, то область At = [0; t] а пл.в. в этой области
f (x) = x, поэтому
                                 Z t
                                           t2
                         F (t) =     x dx = ;
                                                  0            2

  (iv) поскольку пл.в. f (x) = 2 − x для всех 1 6 x 6 2, то при
16t62
                      Z   1             Z   t                  1       1       (2 − t)2
            F (t) =            x dx +           (2 − x) dt =       +       −                   .
                      0                 1                      2       2               2

Таким образом, ф.р. ξ равна
             
             
                         0,        если x 6 0,
             
                                                                                  F
             
                      x   2                                                       6

                       2
                         ,          если 0 6 x 6 1,                            1
 F (x) =              (2 − x)2
             
              1−              ,    если 1 6 x 6 2,
             
                        2                                                                             -x
             
                         1,        если x > 2.                                    0       1       2


       в)   В соответствии с формулами задачи 2, с. 136,
                                                                       1               1
              P {−1 6 ξ 6 1} = F (1) − F (−1) =                            −0=             .
                                                                       2               2

       г)
       Вообще говоря, квадратическая функция не является мо-
нотонной, однако в нашем случае на носителе X = [0; 2] распре-
деления ξ функция h(x) = x2 строго возрастает. Обратная к ней
                √                               1
функция ĥ(y) = y, а ее производная ĥ0(y) = (2 √ y)
                                                     .
   Раскрыв модуль в выражении для пл.в. fξ окончательно полу-
чаем:

Страницы