Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 140 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

140 Т е м а VI. Распределения случайных величин
Z 5 В обычной практике применения второй части предыдущей теоре-
мы условие абсолютной непрерывности не проверяется, но, получив
непрерывную всюду ф.р., ее плотность находят путем дифферен-
цирования (конечно, там, где это возможно). Такой путь почти всегда
приводит к правильному результату, однако, хотя бы из уважения
к Теории, следует на секунду остановиться и, найдя первообразную,
восстановить ф.р. по ее производной.
Существует пример непрерывной, почти всюду дифференцируемой
функции распределения (лестница Кантора), у которой нет плотно-
сти вероятностей.
∗ ∗ ∗
Теорема .
Если с.в. ξ имеет пл.в. f
ξ
с носителем X = (a; b) (конечным
или бесконечным), а функция h непрерывно дифференцируема и
строго возрастает всюду на (a; b), то для с.в. η = h(ξ)
(i) носитель X
η
= ( h(a) ; h(b) ) = ( lim
x&a
h(x) ; lim
x%a
h(x) ) ;
(ii) плотность вероятностей
f
η
(y) = f
ξ
¡
ˆ
h(y)
¢
·
ˆ
h
0
(y), y ∈ X
η
,
где
ˆ
h = h
−1
— обратная функция h.
∗ ∗ ∗
Пример 5. Пусть ξ v U[0; 1]. Найдем пл.в. с.в. η =
1
1 − ξ
.
Решение. Функция h(x) =
1
(1 − x)
возрастает на носителе [0; 1)
распределения ξ.
Носитель η равен X
η
= [1; ∞).
Решая уравнение h(x) = y, находим обратную к h функцию
ˆ
h(y) = 1 −
1
/
y
. Ее производная
ˆ
h
0
(y) =
1
/
y
2
.
Таким образом, плотность η равна (напомним, что f
ξ
(x) ≡ 1 )
f
η
(y) = f
ξ
(
ˆ
h(y))
ˆ
h
0
(y) =
1
y
2
, y > 1 .
 140                Тема    VI. Распределения случайных величин




 Z 5 В обычной практике применения второй части предыдущей теоре-
     мы условие абсолютной непрерывности не проверяется, но, получив
     непрерывную всюду ф.р., ее плотность находят путем дифферен-
     цирования (конечно, там, где это возможно). Такой путь почти всегда
     приводит к правильному результату, однако, хотя бы из уважения
     к Теории, следует на секунду остановиться и, найдя первообразную,
     восстановить ф.р. по ее производной.
        Существует пример непрерывной, почти всюду дифференцируемой
        функции распределения (лестница Кантора), у которой нет плотно-
        сти вероятностей.


   Теорема .                  ∗∗∗
Если с.в. ξ имеет пл.в. fξ с носителем X = (a; b) (конечным
или бесконечным), а функция h непрерывно дифференцируема и
строго возрастает всюду на (a; b), то для с.в. η = h(ξ)
(i) носитель           Xη = ( h(a) ; h(b) ) = ( lim h(x) ; lim h(x) ) ;
                                                  x&a         x%a
(ii) плотность вероятностей
                       ¡     ¢
            fη (y) = fξ ĥ(y) · ĥ0(y),            y ∈ Xη ,
       где ĥ = h−1 — обратная функция h.
                                    ∗∗∗
                                                            1
       Пример 5. Пусть ξ v U[0; 1]. Найдем пл.в. с.в. η = 1 − ξ
                                                                .
                                  1
    Решение. Функция h(x) = (1 −     x)
                                        возрастает на носителе [0; 1)
распределения ξ.
    Носитель η равен       Xη = [1; ∞).
    Решая уравнение h(x) = y, находим обратную к h функцию
ĥ(y) = 1 − 1/y . Ее производная ĥ0(y) = 1/y2 .
    Таким образом, плотность η равна (напомним, что fξ (x) ≡ 1 )
                                                1
                 fη (y) = fξ (ĥ(y)) ĥ0(y) =      ,    y > 1.
                                                y2

Страницы