Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 139 стр.

                           Типы распределений                              139




  Теорема .                 ∗∗∗
Если ф.р. F с.в. ξ абсолютно непрерывна с носителем X , то
 • она всюду непрерывна и вероятность P {ξ = x} = 0, ∀x ∈ R 1;
 • она почти всюду (по мере Лебега) дифференцируема и в точках
   x, где существует производная, пл.в. можно выбрать равной
                     f (x) = F 0(x) ;
 • вероятность любого события вида {ξ ∈ A} равна
                                     Z
                     P {ξ ∈ A} =       f (x) dx .
                                         A∩X

                                    ∗∗∗

     4. Несмотря на то что вероятность принятия любого кон-
кретного значения абсолютно непрерывной с.в. равна 0, часто при
сравнении различных значений из носителя с.в. говорят, например,
что значение 7 в три раза более вероятно, чем значение 1, если от-
ношение f (7)/f (1) ≈ 3. Можно ли этой фразе придать точный
математический смысл?

   Пример 4.      По определению с.в. ξ v U[0; 1] вероятность
попадания ξ в интервал (a; b) равна длине части этого интер-
вала, которая лежит внутри отрезка [0; 1]. Поэтому ф.р. ξ, как
вероятность интервала (−∞; x), равна
                                                        
                                     0, если x 6 0,      Zx
 F (x) = P {ξ ∈ (−∞; x) ∩ [0; 1]} =   x, если 0 6 x 6 1,   =    I[0;1] (t)dt ,
                                                        
                                      1, если x > 1          −∞


где I[0;1] — индикаторная функция отрезка [0; 1]. В соответствии
с нашим договором, функцию плотности можно записать как
                          f (x) = 1, x ∈ [0; 1].