Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 137 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Типы распределений 137
Z 3 Ф.р. F (x) дискретной с.в. имеет ступенчатый вид (см. ниже пример 2).
В силу утверждения задачи 2.vi высота ступеньки F (x) в точке x
k
как
раз равна вероятности p
k
попадания в эту точку.
Иногда с.в. дискретного типа определяют как с.в., функция распре-
деления которой имеет ступенчатый вид.
Пример 1. Самое популярное дискретное распределение —
это классическое распределение на конечном носителе:
X x
1
··· x
N
P
1
N
···
1
N
.
Пример 2. Таблица вероятностей с.в. ξ задана не полностью:
X 2 −1 0
P
1
4
1
4
C
.
Понятно, что неизвестная констан-
та может равняться только C =
1
/
2
. На
рисунке справа приведен график соот-
ветствующей функции распределения.
x
F
¾
¾
¾
-1 0 2
1
4
3
4
1
Пример 3. С.в. ξ принимает все натуральные значения с
вероятностями, обратно пропорциональными квадратам этих зна-
чений. Найти вероятность получения нечетного числа.
Решение. Носитель распределения X =
1, 2, . . .
®
, а вероятно-
сти
p
k
= P {ξ = k} =
C
k
2
, k = 1, 2, . . .
Из курса анализа (тема ряды Фурье) известно, что
∞
X
k=1
1
k
2
=
π
2
6
.
Чтобы соблюсти свойство (∗), необходимо положить C =
6
/
π
2
:
p
k
=
6
(
π
k)
2
.
                             Типы распределений                               137




 Z 3 Ф.р. F (x) дискретной с.в. имеет ступенчатый вид (см. ниже пример 2).
     В силу утверждения задачи 2.vi высота ступеньки F (x) в точке xk как
     раз равна вероятности pk попадания в эту точку.
     Иногда с.в. дискретного типа определяют как с.в., функция распре-
     деления которой имеет ступенчатый вид.

   Пример 1. Самое популярное дискретное распределение —
это классическое распределение на конечном носителе:
                               X x1 · · · xN
                                             .
                               P N1 · · · N1
   Пример 2. Таблица вероятностей с.в. ξ задана не полностью:
                    X 2 −1 0
                         1     1             .
                     P               C
                         4     4
                                                              F
    Понятно, что неизвестная констан-                             1   ¾
                                                              3¾
та может равняться только C = 1/2 . На                        4
рисунке справа приведен график соот-                         ¾ 1
                                                                4         x
ветствующей функции распределения.                           -1 0     2
    Пример 3. С.в. ξ принимает все натуральные значения с
вероятностями, обратно пропорциональными квадратам этих зна-
чений. Найти вероятность получения нечетного числа.
                                           ­          ®
    Решение. Носитель распределения X = 1, 2, . . . , а вероятно-
сти
               pk = P {ξ = k} = kC2 , k = 1, 2, . . .

Из курса анализа (тема ряды Фурье) известно, что
                         ∞
                         X  1    π2
                             2
                               =    .
                                         k           6
                                   k=1
Чтобы соблюсти свойство (∗), необходимо положить C = 6/π2 :
                                                 6
                                   pk =                  .
                                             ( π k)2

Страницы