Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 135 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Т е м а VI.
Случайные величины.
Распределения случайных величин
[1, с. 41–48; 2, с. 166–168, с. 186–190]
Пусть (Ω, F, P) — вероятностное пространство.
Случайной величиной (коротко с.в.) называется измеримая
функция ξ : Ω → R
1
, то есть функция, для которой события
{ξ < x } = {ω : ξ(ω) < x } ∈ F , −
измеримы относительно σ -алгебры F при всех вещественных x.
Z 1 Строго говоря, необходимо уметь вычислять вероятности для всех бо-
релевских множеств B ∈ B(R
1
). Достаточность данного определения
вытекает из того, что борелевская σ–алгебра порождается всеми ин-
тервалами вида (−∞; x) (см. задачу 56, с. 24).
Функция распределения (коротко ф.р.) с.в. ξ равна
F (x) = F
ξ
(x) := P {ξ < x}, x ∈R
1
.
То, что ф.р. с.в. ξ равна F (x) будем записывать как ξ v F (x).
1. Докажите справедливость основных свойств ф.р. F (x) :
F1 ) F (x) не убывает;
F2 ) F (−∞) := lim
x→−∞
F (x) = 0, F(+∞) := lim
x→+∞
F (x) = 1;
F3 ) F (x) всюду непрерывна слева.
Z 2 Иногда полагают F (x) = P {ξ 6 x}. Принципиальных различий здесь
нет, однако надо помнить, что в этом случае справедливо свойство
F3
0
) F (x) всюду непрерывна справа.
                        Случайные величины.
     Тема      VI.
                        Распределения случайных величин


                                [1, с. 41–48; 2, с. 166–168, с. 186–190]
   Пусть (Ω, F, P) — вероятностное пространство.
   Случайной величиной (коротко с.в.) называется измеримая
функция ξ : Ω → R 1, то есть функция, для которой события
                { ξ < x } = { ω : ξ(ω) < x } ∈ F , −
измеримы относительно σ -алгебры F при всех вещественных x.
 Z 1 Строго говоря, необходимо уметь вычислять вероятности для всех бо-
     релевских множеств B ∈ B(R 1 ). Достаточность данного определения
     вытекает из того, что борелевская σ–алгебра порождается всеми ин-
     тервалами вида (−∞; x) (см. задачу 56, с. 24).


 Функция     распределения (коротко ф.р.) с.в. ξ равна

                F (x) = Fξ (x) := P {ξ < x} ,    x ∈ R 1.

 То, что ф.р. с.в. ξ равна F (x) будем записывать как ξ v F (x).

    1. Докажите справедливость основных свойств ф.р. F (x) :
   F1 ) F (x) не убывает;
   F2 ) F (−∞) := lim F (x) = 0, F (+∞) := lim F (x) = 1;
                       x→−∞                           x→+∞
   F3 )    F (x) всюду непрерывна слева.

 Z 2 Иногда полагают F (x) = P {ξ 6 x} . Принципиальных различий здесь
     нет, однако надо помнить, что в этом случае справедливо свойство

     F30 ) F (x) всюду непрерывна справа.

Страницы