Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 136 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

136 Т е м а VI. Распределения случайных величин
∗ ∗ ∗
Теорема.
Любая вещественная функция F (x), удовлетворяющая условиям
F1, F2, F3 (или F3
0
), является ф.р. некоторой с.в.
∗ ∗ ∗
2. Применяя свойства вероятности (непрерывность, адди-
тивность), докажите, что вероятности попадания с.в. ξ в различ-
ного вида промежутки можно вычислять через ее ф.р. F (x) :
i) P {a 6 ξ < b} = F (b) − F (a);
ii) P {a 6 ξ 6 b} = F (b + 0) − F (a);
iii) P {a < ξ < b} = F (b) − F (a + 0);
iv) P {a < ξ 6 b} = F (b + 0) − F (a + 0);
v) P {ξ > a} = 1 − F (a);
vi) P {ξ = b} = F (b + 0) − F (b);
• P {ξ = b} = 0 ⇔ ф.р. F непрерывна в точке x = b.
3.
>
Докажите, что число точек разрыва ф.р. не более чем
счетно.
С.в. ξ имеет дискретный тип распределения, если для (конеч-
ного или счетного) множества X =
x
k
®
N
k=1
, N 6 ∞,
p
k
:= P {ξ = x
k
} > 0 и
P
N
1
p
k
= 1. (∗)
Множество X называется носителем с.в. или множеством ее
значений.
Дискретную с.в. с конечным и не очень большим числом N
точек носителя можно задать посредством таблицы вероятностей
X x
1
··· x
N
P p
1
··· p
N
.
При этом необходимо следить за выполнением свойств (∗).
136                Тема    VI. Распределения случайных величин




   Теорема.                 ∗∗∗
Любая вещественная функция F (x), удовлетворяющая условиям
F1, F2, F3 (или F30 ), является ф.р. некоторой с.в.
                            ∗∗∗

     2. Применяя свойства вероятности (непрерывность, адди-
тивность), докажите, что вероятности попадания с.в. ξ в различ-
ного вида промежутки можно вычислять через ее ф.р. F (x) :
       i) P {a 6 ξ < b} = F (b) − F (a);
      ii) P {a 6 ξ 6 b} = F (b + 0) − F (a);
     iii) P {a < ξ < b} = F (b) − F (a + 0);
     iv) P {a < ξ 6 b} = F (b + 0) − F (a + 0);
      v) P {ξ > a} = 1 − F (a);

      vi)   P {ξ = b} = F (b + 0) − F (b);
            • P {ξ = b} = 0 ⇔ ф.р. F непрерывна в точке x = b.
     3.> Докажите, что число точек разрыва ф.р. не более чем
счетно.

 С.в. ξ имеет дискретный тип распределения, если для (конеч-
                                    ­ ®N
 ного или счетного) множества X = xk k=1, N 6 ∞,
                                     PN
          pk := P {ξ = xk } > 0 и       1 pk = 1.      (∗)
 Множество X называется носителем с.в. или множеством ее
 значений.

   Дискретную с.в. с конечным и не очень большим числом N
точек носителя можно задать посредством таблицы вероятностей
                             X x1 · · · xN
                                           .
                             P p1 · · · pN
При этом необходимо следить за выполнением свойств (∗).

Страницы