Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 141 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Преобразования случайных величин 141
Лучше всего подстраховаться и проверить справедливость
свойств
¡
∗
∗
¢
:
Z
∞
−∞
f
η
(y)dy =
Z
∞
1
1
y
2
dy = −
1
y
¯
¯
¯
∞
1
= 1.
Пример 6. Плотность вероятностей с.в. ξ равна
f(x) = C(1 − |x − 1|), x ∈ [0; 2] .
Требуется найти
a) неизвестную константу C и построить график пл.в.;
б) функцию распределения с.в. ξ и построить ее график;
в) вероятность того, что ξ ∈ [−1; 1] ;
г) функцию плотности с.в. η = ξ
2
и построить ее график.
Решение. a) Воспользуемся свойствами пл.в.
¡
∗
∗
¢
. Оче-
видно, при C > 0 функция f(x) > 0. Так как f(x) = x при
x ∈ [0; 1], f(x) = 2 −x при x ∈ [1; 2], а в остальном f(x) = 0, то
∞
Z
−∞
f(x) dx = C
1
Z
0
x dx +
2
Z
1
(2 − x) dx
= C.
С учетом второго свойства
¡
∗
∗
¢
C = 1. График этой пл.в. (см.
ниже) объясняет причину, по которой данное распределение
называют треугольным.
б) Функция распределения ξ равна
F (t) =
t
Z
−∞
f(x) dx =
Z
A
t
f(x) dx ,
где область A
t
= (−∞; t)∩[0; 2] — часть интер-
вала (−∞; t), лежащая внутри носителя рас-
пределения X = [0; 2]. Как видно из графика
плотности f(x), для отыскания F придется
рассмотреть четыре ситуации:
-
x
f
6
1
·
·
·
·
·T
T
T
T
T
-
0 1 2
                 Преобразования случайных величин                                                   141


   Лучше всего подстраховаться и проверить справедливость
        ¡∗¢
свойств ∗ :   Z ∞            Z ∞             ¯
                                 1         1 ¯∞
                  fη (y)dy =      2 dy = −   ¯ = 1.
                  −∞                     1   y                  y 1

   Пример 6.       Плотность вероятностей с.в. ξ равна

                 f (x) = C(1 − |x − 1|), x ∈ [0; 2] .

Требуется найти
   a) неизвестную константу C и построить график пл.в.;
   б) функцию распределения с.в. ξ и построить ее график;
   в) вероятность того, что ξ ∈ [−1; 1] ;
   г) функцию плотности с.в. η = ξ 2 и построить ее график.
                                                           ¡∗ ¢
   Решение.       a)     Воспользуемся свойствами пл.в. ∗ . Оче-
видно, при C > 0 функция f (x) > 0. Так как f (x) = x при
x ∈ [0; 1], f (x) = 2 − x при x ∈ [1; 2], а в остальном f (x) = 0, то
                               1                     
             Z∞                 Z         Z2
                 f (x) dx = C  x dx + (2 − x) dx = C.
           −∞                      0                  1
                                  ¡∗ ¢
С учетом второго свойства ∗ C = 1. График этой пл.в. (см.
ниже) объясняет причину, по которой данное распределение
называют треугольным.
   б) Функция распределения ξ равна

                            Zt                   Z
                  F (t) =        f (x) dx =               f (x) dx ,
                            −∞                   At

где область At = (−∞; t)∩[0; 2] — часть интер-                             f
                                                                           6
вала (−∞; t), лежащая внутри носителя рас-                             1             ·T
                                                                                 ·     T
пределения X = [0; 2]. Как видно из графика                                     ·          T
                                                                            ·               T
плотности f (x), для отыскания F придется                                  ·                    T   -x
                                                                           0         1          2
рассмотреть четыре ситуации:

Страницы